Se n for um inteiro positivo ímpar, prove que

∫ 0 π cos n ⁡ x d x = 0

Passo 1

Já que temos uma integral definida, vamos dar uma manipulada para ver o que acontece.

A primeira coisa a se fazer é trocar n por 2 k + 1 , já que n é ímpar e positivo, 2 k + 1 é um número ímpar positivo para todo k ∈ Z + . Sendo assim,

∫ 0 π cos n ⁡ x d x = ∫ 0 π cos 2 k + 1   ⁡ x d x

Agora vou separar em duas potências e usar a propriedade a b c = a b c .

∫ 0 π cos 2 k ⁡ x ⋅ cos ⁡ x d x = ∫ 0 π cos 2 ⁡ x k ⋅ cos ⁡ x d x

Por fim, vou usar a relação cos 2 ⁡ x = 1 - sen 2 ⁡ x .

∫ 0 π 1 - sen 2 ⁡ x k ⋅ cos ⁡ x d x

Agora apareceu sen ⁡ x e cos ⁡ x d x . Isso indica uma substituição.

Passo 2

Seja então a substituição:

u = sen ⁡ x

E derivando temos:

d u = cos ⁡ x d x  

Que é uma expressão que aparece na integral. Antes de trocar a variável da integral, vamos ver os limites de integração nessa nova variável.

u = sen ⁡ x   →       x s = π       →         u s = sen ⁡ π = 0 x i = 0       →         u i = sen ⁡ 0 = 0

Pronto! Agora já podemos trocar a variável.

∫ 0 π 1 - sen 2 ⁡ x k ⋅ cos ⁡ x d x = ∫ 0 0 1 - u 2 k d u

Passo 3

De acordo com essa troca de variável, temos a seguinte igualdade.

∫ 0 π cos n ⁡ x d x = ∫ 0 0 1 - u 2 k d u

Mas a integral da direita é 0 . Lembre-se que:

∫ a a f u d u = 0

Concluímos então que:

∫ 0 π cos n ⁡ x d x = ∫ 0 0 1 - u 2 k d u = 0

Ou seja,

∫ 0 π cos n ⁡ x d x = 0

Como queríamos demonstrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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