Enunciado

Se n for um inteiro positivo ímpar, prove que

int_0^(pi) cos^n x d x = 0

Passo 1

Já que temos uma integral definida, vamos dar uma manipulada para ver o que acontece.

A primeira coisa a se fazer é trocar n por 2 k + 1 , já que n é ímpar e positivo, 2 k + 1 é um número ímpar positivo para todo k in Z_+ . Sendo assim,

int_0^(pi) cos^n x d x = int_0^(pi) cos^(2 k + 1 ) x d x

Agora vou separar em duas potências e usar a propriedade (a^(b c)) = (a^b)^c .

int_0^(pi) cos^(2 k) x * cos x d x = int_0^(pi) (cos^2 x)^k * cos x d x

Por fim, vou usar a relação cos^2 x = 1 - sen^2 x .

int_0^(pi) (1 - sen^2 x)^k * cos x d x

Agora apareceu sen x e cos x d x . Isso indica uma substituição.

Passo 2

Seja então a substituição:

u = sen x

E derivando temos:

d u = cos x d x

Que é uma expressão que aparece na integral. Antes de trocar a variável da integral, vamos ver os limites de integração nessa nova variável.

u = sen x -> {[[x_s = pi -> u_s = sen pi = 0],[x_i = 0 -> u_i = sen 0 = 0]])

Pronto! Agora já podemos trocar a variável.

int_0^(pi) (1 - sen^2 x)^k * cos x d x = int_0^0 (1 - u^2)^k d u

Passo 3

De acordo com essa troca de variável, temos a seguinte igualdade.

int_0^(pi) cos^n x d x = int_0^0 (1 - u^2)^k d u

Mas a integral da direita é 0 . Lembre-se que:

int_a^a f (u) d u = 0

Concluímos então que:

int_0^(pi) cos^n x d x = int_0^0 (1 - u^2)^k d u = 0

Ou seja,

int_0^(pi) cos^n x d x = 0

Como queríamos demonstrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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