Enunciado

Calcule a integral indefinida:

int (t^5)/(sqrt(t^2 + 16)) d t

Passo 1

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma sqrt(x^2 + a^2) , nesse formato de expressão vamos fazer x = a tg theta e utilizar a identidade trigonométrica 1 + tg^2 theta = sec^2 theta :

t = 4 tg theta

d t = 4 sec^2 theta d theta

Substituindo temos:

int (t^5)/(sqrt(t^2 + 16)) d t = int (4^5 tg^5 theta)/(sqrt(16 tg^2 theta + 16)) 4 sec^2 theta d theta = int (4^5 tg^5 theta)/(sqrt(16 (tg^2 theta + 1))) 4 sec^2 theta d theta

Agora usando a identidade trigonométrica:

int (4^5 tg^5 theta)/(sqrt(16 (tg^2 theta + 1))) 4 sec^2 theta d theta = int (4^5 tg^5 theta)/(sqrt(16 sec^2 theta)) 4 sec^2 theta d theta = int (4^5 tg^5 theta)/(4 sec theta) 4 sec^2 theta d theta =

= int 4^5 tg^5 theta sec theta d theta

Vamos fazer algumas manipulações aqui para usar a identidade novamente:

int 4^5 tg^5 theta sec theta d theta = int 4^5 tg^2 theta tg^2 theta tg theta sec theta d theta =

= int 4^5 (sec^2 theta - 1) (sec^2 theta - 1) tg theta sec theta d theta = 4^5 int (sec^4 theta - 2 sec^2 theta + 1) tg theta sec theta d theta =

= 4^5 (int sec^4 theta tg theta sec theta d theta + int - 2 sec^2 theta tg theta sec theta d theta + int tg theta sec theta d theta) =

= 4^5 (int sec^4 theta tg theta sec theta d theta - 2 int sec^2 theta tg theta sec theta d theta + int tg theta sec theta d theta)

Passo 2

Para calcular essas integrais vamos usar substituição, na primeira vamos ter:

u = se c theta

d u = sec theta tg theta d theta

Aplicando vamos ter:

int sec^4 theta tg theta sec theta d theta = int u^4 d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Aplicando:

int u^4 d u = (u^(4 + 1))/(4 + 1) + C = (u^5)/(5) + C

Passo 3

Na segunda vamos usar:

u = sec theta

d u = sec theta tg theta d theta

Aplicando vamos ter:

int sec^2 theta tg theta sec theta d theta = int u^2 d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Aplicando:

int u^2 d u = (u^(2 + 1))/(2 + 1) + C = (u^3)/(3) + C

Passo 4

E por último, na terceira vamos ter:

u = sec theta

d u = sec theta tg theta d theta

Aplicando vamos ter:

int tg theta sec theta d theta = int d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int k d x = k x + C

Aplicando:

int d u = u + C

Passo 5

Agora é só juntar tudo:

int (t^5)/(sqrt(t^2 + 16)) d t = 4^5 (int sec^4 theta tg theta sec theta d theta - 2 int sec^2 theta tg theta sec theta d theta + int tg theta sec theta d theta) =

= 4^5 ((u^5)/(5) - 2 (u^3)/(3) + u) + C

Calma, não terminou ainda, vamos ter que voltar para a variável original t :

int (t^5)/(sqrt(t^2 + 16)) d t = 4^5 ((u^5)/(5) - 2 (u^3)/(3) + u) + C = 4^5 ((sec^5 theta)/(5) - 2 (sec^3 theta)/(3) + sec theta) + C

Temos que t = 4 tg theta , ou seja, tg theta = (t)/(4) , assim vamos usar o triângulo retângulo abaixo para achar sec theta :

Assim o valor de sec theta é:

se c theta = (1)/(cos theta) = (1)/((4)/(sqrt(t^2 + 16))) = (sqrt(t^2 + 16))/(4)

Pronto, ficamos então com:

int (t^5)/(sqrt(t^2 + 16)) d t = 4^5 ((sec^5 theta)/(5) - 2 (sec^3 theta)/(3) + sec theta) + C =

= 4^5 ((1)/(5) ((sqrt(t^2 + 16))/(4))^5 - (2)/(3) ((sqrt(t^2 + 16))/(4))^3 + (sqrt(t^2 + 16))/(4)) + C =

= (1)/(5) (t^2 + 16)^2 sqrt(t^2 + 16) - (32)/(3) sqrt(t^2 + 16) (t^2 + 16) + 256 sqrt(t^2 + 16) + C

Resposta

int (t^5)/(sqrt(t^2 + 16)) d t = (1)/(5) (t^2 + 16)^2 sqrt(t^2 + 16) - (32)/(3) sqrt(t^2 + 16) (t^2 + 16) + 256 sqrt(t^2 + 16) + C

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