Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int (e^u)/((1 - e^u)^2) d u

Passo 1

Opa, bora calcular essa integral aqui:

int (e^u)/((1 - e^u)^2) d u

Pra isso vamos utilizar o método de substituição simples! Uma dica legal pra escolher quem vai ser o v é pensar:

“o que, que, se eu substituir por v vai transformar essa integral em uma integral mais simples de resolver?!”

Nesse caso temos:

v = 1 - e^u

Agora calculamos d v :

(d v)/(d u) = - e^u

d u = - (1)/(e^u) d v

Substituindo:

int (e^u)/((1 - e^u)^2) d u = int (e^u)/(v^2) (- (1)/(e^u) d v)

int - (1)/(v^2) d v

Que é o mesmo que:

- int v^(- 2) d v

Agora ficamos com uma integral bem simplinha de resolver!

Passo 2

Assim,

- int v^(- 2) d v = - (v^(- 2 + 1))/(- 2 + 1) + C

= (v^(- 1))/(- 1) + C = (1)/(v) + C

Lembrando que v = 1 - e^u :

int (e^u)/((1 - e^u)^2) d u = (1)/(1 - e^u) + C

Prontinho!

Resposta

int (e^u)/((1 - e^u)^2) d u = (1)/(1 - e^u) + C

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