Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int (s e n 2 x)/(1 + cos^2 x) d x

Passo 1

Opa, bora resolver essa integral:

int (s e n 2 x)/(1 + cos^2 x) d x

O problema aqui é que a gente não consegue resolver ela direto usando as primitivas. Então vamos usar uma técnica de integração chamada Regra da Substituição, então mãos a massa!

Vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um x , podemos então usar a mudança de variável:

u = 1 + cos^2 x

Dica: o melhor u é aquele que simplifica a nossa integral! Além disso a derivada de u deve esta dentro da integral.

(d u)/(d x) = - 2 cos x s e n x d x

Usamos a identidade trigonométrica:

s e n 2 x = 2 cos x s e n x

Então:

(d u)/(d x) = - s e n 2 x

Vamos agora fazer a substuição:

int (s e n 2 x)/(1 + cos^2 x) d x = - int (1)/(u) d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Integrando:

- int (1)/(u) d u = - ln |u| + C

Voltando a variável original:

- ln |u| + C = - ln |1 + cos^2 x|

Como cos^2 x > 0 podemos tirar o módulo:

int (s e n 2 x)/(1 + cos^2 x) d x = - ln (1 + cos^2 x) + C

Prontinho!

Resposta

int (s e n 2 x)/(1 + cos^2 x) d x = - ln (1 + cos^2 x) + C

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