Calcule a integral indefinida:

∫ sec 2 ⁡ x d x 4 - tan 2 ⁡ x 3 2

Passo 1

Pessoal, essa integral será resolvida pelo método da substituição trigonométrica, porém, antes devemos fazer uma substituição simples. Seja u = tan ⁡ x   →     d u = sec 2 ⁡ x d x , então:

∫ sec 2 ⁡ x d x 4 - tan 2 ⁡ x 3 2 = ∫ d u 4 - u 2 3 2

Agora podemos utilizar a substituição trigonométrica.

Passo 2

Devemos saber qual substituição trigonométrica usar, como nós temos 2 2 - u 2 no denominador, isso indica a substituição com o seno, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser u = 2 sen ⁡ θ . Façamos então a substituição:

u = 2  sen ⁡ θ d u = 2 cos ⁡ θ d θ

Dessa forma, - u 2 = - 4 sen 2 ⁡ θ     →         4 - u 2 = 4 - 4 sen 2 ⁡ θ = 4 ( 1 - sen 2 ⁡ θ ) = 2 2 cos 2 ⁡ θ .

Passo 3

Agora vamos trocar a variável e resolver.

∫ d u 4 - u 2 3 2 = ∫ 2 cos ⁡ θ d θ 2 2 cos 2 ⁡ θ 3 2 = 2 2 3 ∫ cos ⁡ θ d θ cos 3 ⁡ θ = 1 4 ∫ d θ cos 2 ⁡ θ = 1 4 ∫ sec 2 ⁡ θ d θ = 1 4 tan ⁡ θ + C

Lembre-se que ( tan ⁡ θ ) ' = sec 2 ⁡ θ .

Passo 4

Como a integral indefinida foi dada na variável x , devemos dar a resposta nesta variável. Sendo u = 2 sen ⁡ θ , para achar tan ⁡ θ nós olhamos o triângulo da substituição com s e n construído no início e utilizamos relações trigonométricas da tangente. Temos então:

tan ⁡ θ = u a 2 - u 2   →     tan ⁡ θ = u 4 - ( u ) 2

No triângulo está x , mas nós efetuamos a substituição usando u , então basta trocar. Dessa forma,

∫ sec 2 ⁡ x d x 4 - tan 2 ⁡ x 3 2 = 1 4 tan ⁡ θ + C = u 4 4 - ( u ) 2 + C

Também fizemos a substituição u = tan ⁡ x , logo, o resultado será:

∫ sec 2 ⁡ x d x 4 - tan 2 ⁡ x 3 2 = tan ⁡ x 4 4 - ( tan ⁡ x ) 2 + C

Resposta

∫ sec 2 ⁡ x d x 4 - tan 2 ⁡ x 3 2 = tan ⁡ x 4 4 - ( tan ⁡ x ) 2 + C

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