Enunciado

Teste a série quanto a convergência ou divergência.

∑ n = 1 ∞ - 1 n n n 3 + 2

Passo 1

A série alternada da forma

a n = - 1 n b n

Ou

a n = - 1 n + 1 b n

Onde b n ≥ 0 .

Converge se obedecer o teste da série alternada que tem duas condições

  1. b n + 1 < b n para todo n
  2. lim n → ∞ ⁡ b n = 0

Passo 2

Agora vamos ver se a série obedece as duas regras do teste da série alternada para a serie com

b n = n n 3 + 2

Podemos manipular um pouco para ficar mais fácil de analisar

b n = n n 3 + 2 = n n 2 n + 2 n 2 = n n n + 2 n 2 = 1 n + 2 n 2

Para a primeira regra b n + 1 < b n , neste caso temos que

1 n + 1 + 2 ( n + 1 ) 2 < 1 n + 2 n 2

Podemos ver que a parte 2 / n 2 diminui, mas para n ≥ 2 , a cada valor de n , essa diferença é compensada no denominador já que soma n e de fato b n é decrescente.

Passo 3

Para a segunda regra, basta calcular o limite de b n

lim n → ∞ ⁡ b n = lim n → ∞ ⁡ 1 n + 2 n 2 = 0

Como a série obedece as duas regras do teste da série alternada, a série converge.

Resposta

Converge.

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