Enunciado

Calcule a integral indefinida como uma série infinita.

∫ e x - 1 x d x  

Passo 1

Para calcular a integral como uma série, vamos substituir o cos ⁡ x por sua série

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + …

Para achar o termo vamos substrair 1 que vai cancelar com o primeiro termo da série da exponencial, fazendo a série começar em n = 1

e x - 1 = ∑ n = 1 ∞ x n n ! = x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + …

Agora dividindo por x

e x - 1 x = 1 x ∑ n = 1 ∞ x n n ! = ∑ n = 1 ∞ x n - 1 n !

Passo 2

Agora para integrar

∫ e x - 1 x d x = ∫ ∑ n = 1 ∞ x n - 1 n ! d x  

Podemos colocar a integral dentro do somatório, deixando somente o que tem x dentro da integral.

= ∑ n = 1 ∞ 1 n ! ∫ x n - 1 d x

= C + ∑ n = 1 ∞ 1 n ! x n n

= C + ∑ n = 1 ∞ x n n ⋅ n !

Resposta

C + ∑ n = 1 ∞ x n n ⋅ n !

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