Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int (tg^(- 1) x)/(1 + x^2) d x

Passo 1

Opa, bora resolver essa integral:

int (tg^(- 1) x)/(1 + x^2) d x

O problema aqui é que a gente não consegue resolver ela direto usando as primitivas. Então vamos usar uma técnica de integração chamada Regra da Substituição, então mãos a massa!

Vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um x , podemos então usar a mudança de variável:

u = tg^(- 1) x

Dica: o melhor u é aquele que simplifica a nossa integral!

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = (1)/(1 + x^2) d x

Percebeu a sacada?! A derivada da tg^(- 1) x aparece dentro da integral. Então quando substituímos ela vai ser cancelada!

Vamos agora fazer a substuição:

int (tg^(- 1) x)/(1 + x^2) d x = int u d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Agora é só aplicar:

int u d u = (u^(1 + 1))/(1 + 1) = (u^2)/(2) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso aqui foi u = tg^(- 1) x :

int (tg^(- 1) x)/(1 + x^2) d x = int u d u = (u^2)/(2) + C = ((tg^(- 1) x)^2)/(2) + C

Resposta

int (tg^(- 1) x)/(1 + x^2) d x = ((tg^(- 1) x)^2)/(2) + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral ∫ sec 6 ⁡ t d t
Calcule a integral ∫ tan 3 ⁡ θ cos 4 ⁡ θ d θ
Calcule a integral ∫ x tan ⁡ x s e c x d x
Calcule a integral ∫ π 4 π 2 cot 3 ⁡ ( x ) d x
Calcule a integral ∫ s i n 3 x c o s x d x