Enunciado

Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y . Desenhe um retângulo aproximante típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região.

x = 1 - y 2 ,         x = y 2 - 1

Passo 1

Bom galera, nessa questão devemos esboçar a região delimitada pelas curvas:

x = 1 - y 2 ,         x = y 2 - 1

Pra começar, vamos achar os pontos de intersecção pra facilitar o desenho:

1 - y 2 = y 2 - 1

2 y 2 = 2

y = ± 1

Assim:

A área é essa entre as curvas!

Passo 2

Fica mais fácil calcular a integral em relação a y , vamos ter x R = 1 - y 2 , que é a curva a direita, e x L = y 2 - 1 , que é a curva a esquerda, e os limites de integração são y = - 1 e y = 1 , os pontos de intersecção das curvas, e aqui temos o desenho do retângulo aproximante típico:

Vamos substituir agora:

A = ∫ c d x R - x L d y = ∫ - 1 1 1 - y 2 - y 2 - 1 d y = ∫ - 1 1 2 - 2 y 2 d y = ��� - 1 1 2 d y + ∫ - 1 1 - 2 y 2 d y

Passo 3

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando três expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

∫ k d x = k x + C

Agora é só aplicar:

∫ 2   d y + ∫ - 2 y 2 d y = ∫ 2   d y - 2 ∫ y 2 d y = 2 y - 2 . y 2 + 1 2 + 1 + C = 2 y - 2 y 3 3 + C

Passo 4

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

A = ∫ - 1 1 2 d y + ∫ - 1 1 - 2 y 2 d y = 2 y - 2 y 3 3 - 1 1

A = 2.1 - 2 . 1 3 3 - 2 - 1 - 2 - 1 3 3

A = 2 - 2 3 + 2 - 2 3 = 8 3

Resposta

A = 8 3

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