Enunciado

Calcule a integral iterada.

int_0^1 int_0^y x e^(y^3) d x d y

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Primeiro, vamos integrar a função com relação a x e considerar y como uma constante:

int_0^y x e^(y^3) d x = e^(y^3) [(x^2)/(2)]_0^y

int_0^y x e^(y^3) d x = (e^(y^3))/(2) [x^2]_0^y

int_0^y x e^(y^3) d x = (e^(y^3))/(2) [(y^2) - (0^2)]

int_0^y x e^(y^3) d x = (y^2 e^(y^3))/(2)

Logo:

int_0^1 int_0^y x e^(y^3) d x d y = int_0^1 (y^2 e^(y^3))/(2) d y

Passo 2

Como temos uma multiplicação de funções com relação a y , temos que aplicar algum método para resolver.

Vamos tentar o método da substituição. Consideraremos y^3 = t . Logo:

3 y^2 d y = d t

y^2 d y = (d t)/(3)

Portanto, podemos dizer que:

int_0^1 (y^2 e^(y^3))/(2) d y = int_0^1 (e^(y^3))/(2) y^2 d y

int_0^1 (y^2 e^(y^3))/(2) d y = int_0^1 (e^t)/(2) * (d t)/(3)

int_0^1 (y^2 e^(y^3))/(2) d y = int_0^1 (1)/(6) e^t d t

Logo:

int_0^1 (1)/(6) e^t d t = (1)/(6) [e^t]_0^1

int_0^1 (1)/(6) e^t d t = (1)/(6) [e^1 - e^0]

int_0^1 (1)/(6) e^t d t = (1)/(6) [e - 1]

int_0^1 (1)/(6) e^t d t = (e - 1)/(6)

Logo:

int_0^1 int_0^y x e^(y^3) d x d y = (e - 1)/(6)

Resposta

int_0^1 int_0^y x e^(y^3) d x d y = (e - 1)/(6)

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