Enunciado

Calcule int int_B y d x d y onde B é o conjunto dado.

Passo 1

Chamando a integral dupla do teorema de Fubini de F :

F = int int_B y d x d y

Ou:

F = int_a^b [int_(c (y))^(d (y)) y d x] d y = int_c^d [int_(a (x))^(b (x)) y d y] d x

E fazendo o desenho do conjunto B :

Pode-se observar que como a figura é um paralelogramo regular, a parte que está do lado negativo do eixo vertical pode completar o “vazio” que existe abaixo da parte que está do lado positivo desse mesmo eixo e, assim, forma um quadrado regular:

Como os lados horizontais e verticais da figura independem entre si, já que variam de 0 a 1 , pode-se calcular a integral diretamente.

Passo 2

Assim, é possível calcular para a primeira região:

F = int_0^1 [int_(y = 0)^(y = 1) y d y] d x

F = int_0^1 [(y^2)/(2)] | [[y,=,1],[y,=,0]] d x

Substituindo o intervalo de integração em y :

F = int_0^1 (1)/(2) d x

Passo 3

Agora, integrando em relação a x :

F = (1)/(2) [x] | [[1],[0]]

E, substituindo o intervalo de integração:

F = (1)/(2)

Resposta

(1)/(2)

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