Calcule ∫ ∫ B y d x d y onde B é o conjunto dado.

Passo 1

Chamando a integral dupla do teorema de Fubini de F :

F = ∫ ∫ B y d x d y

Ou:

F = ∫ a b ∫ c y d y y d x d y = ∫ c d ∫ a x b x y d y d x

E fazendo o desenho do conjunto B :

Pode-se observar que como a figura é um paralelogramo regular, a parte que está do lado negativo do eixo vertical pode completar o “vazio” que existe abaixo da parte que está do lado positivo desse mesmo eixo e, assim, forma um quadrado regular:

Como os lados horizontais e verticais da figura independem entre si, já que variam de 0 a 1 , pode-se calcular a integral diretamente.

Passo 2

Assim, é possível calcular para a primeira região:

F = ∫ 0 1 ∫ y = 0 y = 1 y d y d x

F = ∫ 0 1 y 2 2 | y = 1 y = 0 d x

Substituindo o intervalo de integração em y :

F = ∫ 0 1 1 2 d x

Passo 3

Agora, integrando em relação a x :

F = 1 2 x | 1 0

E, substituindo o intervalo de integração:

F = 1 2

Resposta

1 2

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