Enunciado

Encontre o valor médio da função f x , y = 1 / x 2 + y 2 na região anular a 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ b 2 onde 0 < a < b .

Passo 1

Para podermos resolver a questão, precisamos lembrar primeiramente como calculamos o valor médio dentro de uma região. O mesmo é expresso por:

μ = ∬ D f x , y d A ∬ D d A

Portanto, precisamos resolver duas integrais. Como estamos trabalhando com uma região anular, é conveniente descrevermos ela através de coordenadas polares. Portanto, a nossa região, em coordenadas polares, é dada por:

a ≤ r ≤ b

0 ≤ θ ≤ 2 π

Fazendo o mesmo com a nossa função, o seu valor médio será calculado através da seguinte relação:

  μ = ∬ D 1 r r d r d θ ∬ D r d r d θ = ∬ D d r d θ ∬ D r d r d θ

Passo 2

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente. Começando pela integral do numerador, temos:

∬ D d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ a b d r d θ = 2 π b - a

Já a integral do denominador, temos:

∬ D r d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ a b r d r d θ = π b 2 - a 2

Portanto, o valor médio é dado por:

μ = 2 π b - a π b 2 - a 2 = 2 b - a b + a b - a = 2 b + a

Resposta

V a l o r   m é d i o = 2 b + a

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Calcule o valor da integral múltipla. ∫ ∫ D x 2 + y 2 3 2d A Onde D é a região do primeiro quadrante limitada pelas retas y = 0ey = 3 x e pelo círculo x 2 + y 2 = 9 .
Utilize coordenadas polares para calcular ∫ 0 3 ∫ - 9 - x 2 9 - x 2 x 3 + x y 2d yd x
Nos Exercícios 1-8, descreva a região dada em coordenadas polares.
Nos Exercícios 9-22, substitua a integral cartesiana por uma integral equivalente. Em seguida, calcule a integral polar. ∫ 0 6 ∫ 0 y xd xd y
Nos Exercícios 9-22, substitua a integral cartesiana por uma integral equivalente. Em seguida, calcule a integral polar. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - y 2 x 2 + y 2 d xd y