Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.3 - Ex. 37
Encontre o valor médio da função na região anular onde .
Passo 1
Para podermos resolver a questão, precisamos lembrar primeiramente como calculamos o valor médio dentro de uma região. O mesmo é expresso por:
Portanto, precisamos resolver duas integrais. Como estamos trabalhando com uma região anular, é conveniente descrevermos ela através de coordenadas polares. Portanto, a nossa região, em coordenadas polares, é dada por:
Fazendo o mesmo com a nossa função, o seu valor médio será calculado através da seguinte relação:
Passo 2
Vamos resolver cada uma das integrais separadamente. Começando pela integral do numerador, temos:
Já a integral do denominador, temos:
Portanto, o valor médio é dado por:
Resposta
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Calcule o valor da integral múltipla. ∫ ∫ D x 2 + y 2 3 2d A Onde D é a região do primeiro quadrante limitada pelas retas y = 0ey = 3 x e pelo círculo x 2 + y 2 = 9 .
Utilize coordenadas polares para calcular ∫ 0 3 ∫ - 9 - x 2 9 - x 2 x 3 + x y 2d yd x
Nos Exercícios 1-8, descreva a região dada em coordenadas polares.
Nos Exercícios 9-22, substitua a integral cartesiana por uma integral equivalente. Em seguida, calcule a integral polar. ∫ 0 6 ∫ 0 y xd xd y
Nos Exercícios 9-22, substitua a integral cartesiana por uma integral equivalente. Em seguida, calcule a integral polar. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - y 2 x 2 + y 2 d xd y