Calcule a integral iterada.

∫ 0 1 ∫ 0 x cos ⁡ x 2   d y   d x

Passo 1

E aí meus queridxs, tudo bom com vocês? Pois bem, pra resolver essas integrais duplas devemos nos atentar para a ordem de integração. Para esse caso como temos ' d y   d x ' vamos integrar primeiro em y e depois em x , além disso, quando integrarmos em uma variável vamos considerar a outra como constante. Como assim?

Se liguem, se estivermos integrando em d x ( n a   v a r i á v e l   x ) vamos considerar y como uma constante e poderemos calcular de igual maneira como fazíamos com uma integral simples.

Passo 2

Sendo assim, teremos

∫ 0 1 ∫ 0 x cos ⁡ x 2   d y   d x

Calculando a integral ‘de dentro’ teremos

∫ 0 x cos ⁡ x 2   d y = y ⋅ cos ⁡ x 2 0 x = x ⋅ cos ⁡ x 2

Continuando nossa integração teremos

∫ 0 1 x ⋅ cos ⁡ x 2   d x

Pra resolver essa integral vamos utilizar uma substituição simples. Fazendo

x 2 = u → 2 x = d u d x → x   d x = d u 2

Onde x = 1 → u = 1   e   x = 0 → u = 0 . Sendo assim, teremos

∫ 0 1 cos ⁡ u 2   d u = sin ⁡ u 2 0 1 = sin ⁡ 1 2

Prontinho, tá resolvido nosso problema. Até que foi fácil, né?

Resposta

sin ⁡ 1 2

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