Enunciado

Calcule a integral iterada.

int_0^1 int_0^x cos (x^2) d y d x

Passo 1

E aí meus queridxs, tudo bom com vocês? Pois bem, pra resolver essas integrais duplas devemos nos atentar para a ordem de integração. Para esse caso como temos ' d y d x ' vamos integrar primeiro em y e depois em x , além disso, quando integrarmos em uma variável vamos considerar a outra como constante. Como assim?

Se liguem, se estivermos integrando em d x ( n a v a r i á v e l x ) vamos considerar y como uma constante e poderemos calcular de igual maneira como fazíamos com uma integral simples.

Passo 2

Sendo assim, teremos

int_0^1 int_0^x cos (x^2) d y d x

Calculando a integral ‘de dentro’ teremos

int_0^x cos (x^2) d y = [y * cos (x^2)]_0^x = x * cos (x^2)

Continuando nossa integração teremos

int_0^1 x * cos (x^2) d x

Pra resolver essa integral vamos utilizar uma substituição simples. Fazendo

x^2 = u -> 2 x = (d u)/(d x) -> x d x = (d u)/(2)

Onde x = 1 -> u = 1 e x = 0 -> u = 0 . Sendo assim, teremos

int_0^1 (cos (u))/(2) d u = [(sin (u))/(2)]_0^1 = (sin (1))/(2)

Prontinho, tá resolvido nosso problema. Até que foi fácil, né?

Resposta

(sin (1))/(2)

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Sejam σ : Ω ⊂ R 2 → R 3 e φ : Ω 1 ⊂ R 2 → R 3 duas superfícies regulares nos abertos Ω e Ω 1 , respectivamente. Suponha que exista uma transformação H : Ω 1 → Ω , com H Ω 1 = Ω , dada por H : u = u s
Sejam σ : Ω ⊂ R 2 → R 3 e φ : Ω 1 ⊂ R 2 → R 3 duas superfícies regulares, sendo φ obtida de σ pela mudança de parâmentros u , v = H s , t = u s , t , v s , t (veja exercício anterior). Sejam K ⊂ Ω e K
Considere a aplicação g definida pelas equações x = u + v e y = v - u 2 Descreva e esboce a região D .
Calcule ∫ ∫ D y + 2 x y - 2 x - 1 d x d y , onde D é a região do plano x y limitada por y - 2 x = 2 , y + 2 x = 2 , y - 2 x = 1 e y + 2 x = 1 .
Calcule ∫ ∫ D xd x d y , onde D é a região do plano x y limitada pelas parabolas x = y 2 - 1 , x = 1 - y 2 e x = 4 - y 2 4 .