Calcule a integral:

∫ c o t g 2 3 t sec ⁡ 3 t d t

Passo 1

Precisamos calcular essa integral aí.

Cara, normalmente a gente consegue trabalhar direto quando aparece as duplinhas secante e tangente ou cossecante e cotangente. Só que na nossa integral, isso não acontece. ☹

Mas calma, a gente pode abrir essas identidades trigonométricas e dar aquela rearrumada. Olha só como fica:

∫ c o t g 2 3 t sec ⁡ 3 t d t = ∫ cos 2 ⁡ 3 t s e n 2   3 t   1 s e n   3 t d t = ∫ cos ⁡ 3 t s e n 2   3 t d t = ∫ c o t g   3 t   c o s s e c   3 t d t

Com essa duplinha a gente já consegue trabalhar. Vamos seguir!

Passo 2

Vamos deixar esses argumentos das funções com uma variável sozinha, porque facilita na hora de integrar. Vamos usar uma substituição:

u = 3 t ∴ d u d t = 3 ∴ d u 3 = d t

A integral fica assim:

∫ 1 3 c o t g   u   c o s s e c   u d u

Agora para integrar isso, é só lembrar que:

c o s s e c   u ' = - c o t g   u   c o s s e c   u

Por isso:

∫ 1 3 c o t g   u   c o s s e c   u d u = - 1 3 c o s s e c   u

Passo 3

Precisamos agora voltar a variável t :

u = 3 t

∫ c o t g 2 3 t sec ⁡ 3 t d t = - 1 3 c o s s e c   3 t

Mas a não podemos esquecer a constante de integração:

∫ c o t g 2 3 t sec ⁡ 3 t d t = - 1 3 c o s s e c   3 t + C

Resposta

∫ c o t g 2 3 t sec ⁡ 3 t d t = - 1 3 c o s s e c   3 t + C

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