Enunciado

Calcule a integral tripla usando apenas interpretação geométrica e simétrica.

∭ B z 2 + s e n   y + 3 d V , onde B é a bola unitária x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1

Passo 1

Vamos aqui recorda (ou talvez a oportunidade para aprender) o Teorema Fundamental do Cálculo. Diremos que, dada uma função f ( x ) em um intervalo [ a , b ]

F b - F ( a ) = ∫ a b f x d x

Agora vamos usar paridade da função f ( x ) . Dado um intervalo simétrico - a , a , teremos

F a - F - a = ∫ - a a f x d x

Se f x for ímpar, então F x será par e teremos que F - a =   F a , logo a integral é nula.

Se f x for par, então F x   será impar e teremos que F - a = - F a , logo a integral será 2 F a .

Passo 2

Agora vamos tentar resolver nossa integral.

∭ B z 2 + s e n   y + 3 d V = ∭ B z 2 d V + ∭ B s e n   y   d V + ∭ B 3   d V

O que iremos reparar que, no caso de um integral tripla, não dá pra resolver por simetria com z 2 . Neste caso teríamos que resolver a integral de maneira trivial. O que iremos supor é que houve um erro no enunciado e que ou z 2 será z ou z 3 . Nestes casos teríamos que por ser funções impares em intervalos simétricos a integral seria nula. O mesmo deve ocorrer para a integral s e n   y . Neste caso ficaríamos com apenas

∭ B z 2 + s e n   y + 3 d V = ∭ B 3   d V = 3 4 π 3 = 4 π

Passo 3

Claro que podemos supor que não houve erro e resolver a primeira parte da integral.

∭ B z 2 d V = ∫ 0 π ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 cos 2 ⁡ ϕ r 2   s e n   ϕ   d r   d θ   d ϕ

Usando coordenadas esféricas.

= 2 π 5 ∫ 0 π cos 2 ⁡ ϕ   s e n   ϕ   d ϕ

Usando cos ⁡ ϕ = u

- 2 π 5 cos 3 ⁡ ϕ 0 π = 4 π 5  

Implicando que nossa integral se resumiria a

4 π 5 + 4 π = 24 π 5

Resposta

Diremos que a resposta correta é a ultima

24 π 5

Mas sem descartar a possibilidade de o exercício ter sido proposto errado.

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