Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.7 - Ex. 38
Calcule a integral tripla usando apenas interpretação geométrica e simétrica.
, onde é a bola unitária
Passo 1
Vamos aqui recorda (ou talvez a oportunidade para aprender) o Teorema Fundamental do Cálculo. Diremos que, dada uma função em um intervalo
Agora vamos usar paridade da função . Dado um intervalo simétrico , teremos
Se for ímpar, então será par e teremos que , logo a integral é nula.
Se for par, então será impar e teremos que , logo a integral será .
Passo 2
Agora vamos tentar resolver nossa integral.
O que iremos reparar que, no caso de um integral tripla, não dá pra resolver por simetria com . Neste caso teríamos que resolver a integral de maneira trivial. O que iremos supor é que houve um erro no enunciado e que ou será ou . Nestes casos teríamos que por ser funções impares em intervalos simétricos a integral seria nula. O mesmo deve ocorrer para a integral . Neste caso ficaríamos com apenas
Passo 3
Claro que podemos supor que não houve erro e resolver a primeira parte da integral.
Usando coordenadas esféricas.
Usando
Implicando que nossa integral se resumiria a
Resposta
Diremos que a resposta correta é a ultima
Mas sem descartar a possibilidade de o exercício ter sido proposto errado.