Enunciado

Calcule a integral.

int_1^3 (1 + 2 x - 4 x^3) d x

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos calcular a seguinte integral definida:

int_1^3 (1 + 2 x - 4 x^3) d x

Para isso, devemos calcular primeiro a integral indefinida para encontrar a primitiva e, depois, aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz o seguinte:

Se f for contínua em [a , b] , então

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Onde F é qualquer primitiva de f , isto é, uma função tal que F^' = f .

Lembre-se também que:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C n != - 1

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

O primeiro a se fazer é obter a integral indefinida do termo que está sendo integrado:

int (1 + 2 x - 4 x^3) d x = x + (2 x^2)/(2) - (4 x^4)/(4) + C

int (1 + 2 x - 4 x^3) d x = x + x^2 - x^4 + C

Passo 3

Logo, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos:

int_1^3 (1 + 2 x - 4 x^3) d x = [x + x^2 - x^4 + C] (3)/(1)

int_1^3 (1 + 2 x - 4 x^3) d x = [3 + 3^2 - 3^4 + C] - [1 + 1^2 - 1^4 + C]

int_1^3 (1 + 2 x - 4 x^3) d x = 3 + 9 - 81 - 1 - 1 + 1

int_1^3 (1 + 2 x - 4 x^3) d x = - 70

Resposta

int_1^3 (1 + 2 x - 4 x^3) d x = - 70

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