Enunciado

Uma população de bactérias é de 4000 no tempo t = 0 e sua taxa de crescimento é de 1000 ∙ 2 t bactérias por hora depois de t horas. Qual é a população depois de uma hora?

Passo 1

Opa, bora resolver essa questão! Aqui a gente tem uma historinha! O enunciado fala de uma população de bactérias que tem a taxa de crescimento igual a:

d d t P ( t ) = 1000 × 2 t

Onde P t é a população de bactérias e o t é medido em horas. No tempo t = 0   temos 4000 bactérias, sabendo disso queremos saber qual a quantidade de bactérias depois de 1 h .

Temos então:

∫ t 1 t 2 P t d t = P t 2 - P ( t 1 )

Pelo enunciado sabemos que:

t 1 = 0

t 2 = 1

P 1 = 4000

Vamos colocar a mão na massa!

Passo 2

Usando a expressão do passo 1, temos:

P 1 - P 0 = ∫ 0 1 1000 ∙ 2 t d t = 1000 ∫ 0 1 2 t d t

O integrando é da forma a x , logo temos:

∫ a x   d x = a x ln ⁡ a + C

Como aqui temos limites de integração, então não usamos a constante de integração, beleza?!

P 1 - P 0 = 1000 2 t ln ⁡ 2   0 1

Aplicando os limites de integração obtemos:

P 1 - P 0 = 1000 ∙ 2 1 ln ⁡ 2 - 2 0 ln ⁡ 2 ∴ P 1 - P 0 = 1000 ln ⁡ 2 ≈ 1443

Passo 3

No enunciado, foi nos informado que a população de bactérias no instante inicial era de 4000 bactérias, logo:

P 1 = 4000 + 1443 = 5443

Prontinho, a população de bactérias após 1 hora é de 5443 bactérias!

Resposta

A população de bactérias após 1 hora é de 5443 bactérias.

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