Enunciado

Seja f x , y = 2 x y 2 x 2 + y 4

Considere a reta γ t = ( a t ,   b t ) ,com a 2 + b 2 > 0 ; mostre que quaisquer que sejam a   e b.

lim t → 0 ⁡   f (   γ t ) = 0

Tente vizualizar este resultado através das curvas de nível de f .

Calcule lim t → 0 ⁡   f (   δ t ) , onde δ ( t ) ) = ( t 2 ,   t )

(Antes de calcular o limotes, tente prever o resultado olhando para as curvas de nível de f . )

lim t → 0 ⁡   2 x y 2 x 2 + y 2 existe? Por quê ?

Passo 1

Vamos tentar resolver o primeiro item, beleza?

Pra começar a questão, vamos voltar até o capitulo 8.2, lá tem o que precisamos. Se olharmos para as curvas de nível, ela tem um “buraco” na origem, mas possa ser que esse caminho nos deixe bem perto da origem. Vamos calcular o limite. Blz?

Primeiro vamos substituir x e y por função de a e b :

x = a t

y = b t

No limite original que nós tínhamos:

lim t → 0 ⁡   f (   γ t ) = l i m t → 0   2 x y 2 x 2 + y 4

Substituindo os valores de x e y :

l i m t → 0   2 x y 2 x 2 + y 4 =   l i m t → 0   2 ( a t ) ( b t ) 2 ( a t ) 2 + ( b t ) 4

Aplicando o caminho a função, temos que o limite que precisamos é o seguinte:

lim t → 0 ⁡   f γ t =     l i m t → 0   2 a b 2 t 3 a 2 t 2 + b 4 t 4

l i m t → 0   2 a b 2 t 3 t 4 a 2 t 2 + b 4 = l i m t → 0   2 a b 2 t a 2 t 2 + b 4

l i m t → 0   2 a b 2 a 2 t + b 4 t = l i m t → 0   2 a b 2 a 2 + b 4 t 2 t

Se substituirmos t = 0 :

l i m t → 0   2 a b 2 a 2 + b 4 ( 0 ) 2 0

Repare que o denominador vai para , assim:

l i m t → 0   2 a b 2 ∞ = 0

Passo 2

Agora, vamos fazer o que pede o item b ) .

Aplicando o caminho a função, temos que f γ t = 2 t 4 t 4 + t 4 .

Tomando o limite, temos:

lim t → 0 ⁡   f γ t =     l i m t → 0   2 t 4 t 4 + t 4 =   l i m t → 0 2 t 4 2 t 4   =     1

Passo 3

Vamos pensar um pouco... Pelo caminho do item a ) , o limite é zero, porém pelo caminho do item b ) , o limite é um, o que implica que o limite não existe.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule, caso exista. lim x , y → 0,0 ⁡ x s e n 1 x 2 + y 2
Calcule, lim x , y → 0,0 ⁡ s e n x 2 + y 2 x 2 + y 2
Calcule, caso exista.f) l i m x , y → 0,0 x + y x - y
Calcule, caso exista.b) l i m x , y → 0,0 x x 2 + y 2