Enunciado

Sejam γ 1 e γ 2 curvas satisfazendo as condições do exemplo 4. A afirmação :

lim t → 0 ⁡   f γ 1 t = l i m t → 0   f γ 2 t = L ⟹   lim x , y → 0,0 f x , y = L ⁡    

É falsa o verdadeira ? Justifuque.

Passo 1

Falso. Levando em consideração a função f x , y = x y x 2 + y 2 . Considere o caminho γ 1 t = 0 , t , para t ≥ 0 , temos que γ 0 = 0,0 e γ t ≠ 0,0 ,   pata t ≠ 0 ,   temos que lim t → 0 ⁡   f γ 1 t =   t ⋅ 0 t 2 + 0 = 0 .   E, considerando o caminho γ 2 t = t , 0 para t ≥ 0 , temos que γ 0 = 0,0 e γ t ≠ 0,0 ,   pata t ≠ 0 ,   temos que lim t → 0 ⁡   f γ 2 t =   t ⋅ 0 t 2 + 0 = 0 .  

Porém, vimos, pela questão 1   d ) que o limite não existe

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Calcule l i m h , k → 0,0 f x + h , y + k - f x , y - 2 x h - k h , k , onde f x , y = x 2 + y 2
Calcule, caso exista, lim h , k → 0,0 ⁡ f h , k h , k , onde f é dada por f x , y = x 3 x 2 + y 2 .
Seja f x , y =e 1 x 2 + y 2 + 1 ,s ex 2 + y 21 0 ,s e x 2 + y 2 ≥ 1 . Calcule lim x , y → 2 2 ,2 2 ⁡ f x , y x 2 + y 2 - 1
Seja f x , y = 2 x y 2 x 2 + y 4 Considere a reta γ t = ( a t ,b t ) ,com a 2 + b 20 ; mostre que quaisquer que sejam a e b. lim t → 0 ⁡f (γ t ) = 0 Tente vizualizar este resultado através das curvas
Suponha que lim x , y → x 0 , y 0 ⁡f x , y =a e lim u → a ⁡g ( u ) = L , com g não definida em a em I m ⊂ D g . Prove que l i m x , y → x 0 , y 0 g f x , y = lim u → a ⁡g ( u ) Prove, ainda, que o res