Enunciado

Calcule

e ) underset(x -> + oo)(lim) [ x - sqrt(x^2 + 3) ]

Passo 1

Faaaaaaaaala aí, tudo certinho? Bora lá? Pra começar, todo limite deve primeiro ser feito substituindo pra ver o que acontece:

underset(x -> + oo)(lim) [x - sqrt(x^2 + 3)] = + oo - sqrt(+ oo + 3)

underset(x -> + oo)(lim) [ x - sqrt(x^2 + 3) ] = oo - oo

Pegamos uma indeterminação galera! O que quer dizer que, pra gente achar esse limite, precisamos primeiro reescrever seu interior até a indeterminação sumir! Partiu então!

Passo 2

Veja bem, como nosso limite tem uma raiz dentro, talvez seja uma boa ideia tirar ela dai! Uma forma de fazer isso é multiplicando em cima e em baixo pelo conjugado:

underset(x -> + oo)(lim) [x - sqrt(x^2 + 3)] = underset(x -> + oo)(lim) [(x - sqrt(x^2 + 3)) ((x + sqrt(x^2 + 3)))/((x + sqrt(x^2 + 3)))]

underset(x -> + oo)(lim) [x - sqrt(x^2 + 3)] = underset(x -> + oo)(lim) [((x - sqrt(x^2 + 3)) (x + sqrt(x^2 + 3)))/(x + sqrt(x^2 + 3))]

Isso é uma boa ideia porque na verdade, o que estamos fazendo, é usar o produto notável:

(a - b) (a + b) = (a^2 - b^2)

No numerador da função! Sendo:

a = x

b = sqrt(x^2 + 3)

Nosso limite se torna:

underset(x -> + oo)(lim) [ x - sqrt(x^2 + 3) ] = underset(x -> + oo)(lim) [((x^2) - (x^2 + 3))/((x + sqrt(x^2 + 3)))]

underset(x -> + oo)(lim) [x - sqrt(x^2 + 3)] = underset(x -> + oo)(lim) [(x^2 - x^2 - 3)/(x + sqrt(x^2 + 3))]

underset(x -> + oo)(lim) [ x - sqrt(x^2 + 3) ] = underset(x -> + oo)(lim) [(- 3)/(x + sqrt(x^2 + 3))]

Beleza, mas será que agora a gente consegue substituir e achar um resultado que não seja uma indeterminação? Bem, tentar não custa! Bora:

underset(x -> + oo)(lim) [x - sqrt(x^2 + 3)] = (- 3)/(oo + sqrt(oo^2 + 3))

underset(x -> + oo)(lim) [x - sqrt(x^2 + 3)] = (- 3)/(oo + sqrt(oo + 3))

underset(x -> + oo)(lim) [x - sqrt(x^2 + 3)] = (- 3)/(oo + sqrt(oo))

underset(x -> + oo)(lim) [x - sqrt(x^2 + 3)] = (- 3)/(oo + oo)

underset(x -> + oo)(lim) [x - sqrt(x^2 + 3)] = (- 3)/(oo)

underset(x -> + oo)(lim) [x - sqrt(x^2 + 3)] = 0

E viu só! O que aconteceu foi que, o denominador:

x + sqrt(x^2 + 3)

Diferentemente de

x - sqrt(x^2 + 3)

Não nos fornece uma indeterminação para x -> + oo . Na verdade, a função f (x) = x + sqrt(x^2 + 3) é uma função estritamente crescente! Então o limite

underset(x -> + oo)(lim) [ x - sqrt(x^2 + 3) ] = underset(x -> + oo)(lim) [(- 3)/(x + sqrt(x^2 + 3))] = (- 3)/(oo) = 0

Representa uma constante sendo dividida por um número infinitamente grande e positivo, o que vai um número infinitamente próximo de zero, porém negativo.

Resposta

underset(x -> + oo)(lim) [ x - sqrt(x^2 + 3) ] = 0

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Encontre o limite ou demonstre que não existe lim x → ∞ ⁡ 3 x + 5 x - 4
Encontre o limiteunderset(x - oo)(lim) (x + 2)/(sqrt(9 x^2 + 1))
Encontre o limite lim x → ∞ ⁡ x + x 3 + x 5 1 - x 2 + x 4
Encontre o limiteunderset(u - oo)(lim) (4 u^4 + 5)/((u^2 - 2) ( 2 u^2 - 1 ))