Calcule

e ) lim x → + ∞ ⁡ [ x - x 2 + 3 ]

Passo 1

Faaaaaaaaala aí, tudo certinho? Bora lá? Pra começar, todo limite deve primeiro ser feito substituindo pra ver o que acontece:

lim x → + ∞ ⁡ x - x 2 + 3 = + ∞ - + ∞ + 3

lim x → + ∞ ⁡ [ x - x 2 + 3 ] = ∞ - ∞

Pegamos uma indeterminação galera! O que quer dizer que, pra gente achar esse limite, precisamos primeiro reescrever seu interior até a indeterminação sumir! Partiu então!

Passo 2

Veja bem, como nosso limite tem uma raiz dentro, talvez seja uma boa ideia tirar ela dai! Uma forma de fazer isso é multiplicando em cima e em baixo pelo conjugado:

lim x → + ∞ ⁡ x - x 2 + 3 = lim x → + ∞ ⁡ x - x 2 + 3   x + x 2 + 3 x + x 2 + 3

lim x → + ∞ ⁡ x - x 2 + 3 = lim x → + ∞ ⁡ x - x 2 + 3 x + x 2 + 3 x + x 2 + 3

Isso é uma boa ideia porque na verdade, o que estamos fazendo, é usar o produto notável:

a - b a + b = a 2 - b 2

No numerador da função! Sendo:

a = x

b = x 2 + 3

Nosso limite se torna:

lim x → + ∞ ⁡ [ x - x 2 + 3 ] = lim x → + ∞ ⁡ x 2 - x 2 + 3 x + x 2 + 3

lim x → + ∞ ⁡ x - x 2 + 3 = lim x → + ∞ ⁡ x 2 - x 2 - 3 x + x 2 + 3

lim x → + ∞ ⁡ [ x - x 2 + 3 ] = lim x → + ∞ ⁡ - 3 x + x 2 + 3

Beleza, mas será que agora a gente consegue substituir e achar um resultado que não seja uma indeterminação? Bem, tentar não custa! Bora:

lim x → + ∞ ⁡ x - x 2 + 3 = - 3 ∞ + ∞ 2 + 3

lim x → + ∞ ⁡ x - x 2 + 3 = - 3 ∞ + ∞ + 3

lim x → + ∞ ⁡ x - x 2 + 3 = - 3 ∞ + ∞

lim x → + ∞ ⁡ x - x 2 + 3 = - 3 ∞ + ∞

lim x → + ∞ ⁡ x - x 2 + 3 = - 3 ∞

lim x → + ∞ ⁡ x - x 2 + 3 = 0

E viu só! O que aconteceu foi que, o denominador:

x + x 2 + 3

Diferentemente de

x - x 2 + 3

Não nos fornece uma indeterminação para x → + ∞ . Na verdade, a função f x = x + x 2 + 3 é uma função estritamente crescente! Então o limite

lim x → + ∞ ⁡ [ x - x 2 + 3 ] = lim x → + ∞ ⁡ - 3 x + x 2 + 3 = - 3 ∞ = 0

Representa uma constante sendo dividida por um número infinitamente grande e positivo, o que vai um número infinitamente próximo de zero, porém negativo.

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ [ x - x 2 + 3 ] = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados