Enunciado

Se z = x^2 - x y + 3 y ² e ( x , y ) varia de ( 3 , - 1 ) a ( 2,96 , - 0,95 ) , compare os valores de Delta z e d z .

Passo 1

Então pessoal, para facilitar a compreensão vamos calcular Delta z e d z separadamente, tudo bem? Vamos começar pelo variação observável, que é o Delta z . Sabemos que o delta significa variação, não é mesmo? É o final menos o inicial. Segundo o enunciado o final é: ( 2,96 , - 0,95 ) e o inicial é ( 3 , - 1 ) , então basta fazermos z_f - z_i = Delta z , saca só:

z = x^2 - x y + 3 y ²

Delta z = z_f - z_i

Delta z = (2,96)^2 - 2,96 . (- 0,95) + 3 . (- 0,95)^2 - (3^2 - 3 . (- 1) + 3 . (- 1)^2)

Delta z = (2,96)^2 - 2,96 . (- 0,95) + 3 . (- 0,95)^2 - [ 9 + 3 + 3 ]

:. Delta z tildetilde - 0,7189

Passo 2

Agora que já achamos Delta z , vamos calcular d z . Quando estamos falando de diferencial, estamos falando de diferenciação total, assim como abordado pela literatura do Stewart na seção 14.4, dessa forma teremos que utilizar a seguinte expressão:

d z = f_x (x , y) d x + f_y (x , y) d y = (del z)/(del x) d x + (del z)/(del y) d y

Antes de descobrirmos as derivadas, temos que saber quem são d x e d y . Aqui precisamos fazer uma aproximação do tipo d z tilde= Delta z , ok? Então teremos:

d x tilde= Delta x = 2,96 - 3 = - 0,04

d y tilde= Delta y = - 0,95 - ( - 1 ) = 0,05

Agora descobrindo as derivadas:

(del z)/(del x) = 2 x - y => (del z)/(del x) (3 , - 1) = 2.3 - ( - 1 ) = 7

(del z)/(del y) = 6 y - x => (del z)/(del y) (3 , - 1) = 6 . (- 1) - 3 = - 9

Passo 3

Substituindo na expressão, teremos que d z é:

d z = 7 . (- 0,04) + (- 9) . ( 0,05 )

:. d z tildetilde - 0,73

Conseguimos notar uma diferença bem acentuada nos cálculos de Delta z e d z , não é mesmo? Uma diferença de aproximadamente 0,0111 nos cálculos pode fazer com que missões espaciais não funcionem, então podemos concluir que utilizar diferenciais aparenta ser mais confiável do que utilizar variações macroscópicas.

Resposta

Delta z tildetilde - 0,7189

d z tildetilde - 0,73

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