Enunciado

Calcule os limites.

underset(t -> oo)(lim) 〈(1 + t^2)/(1 - t ²) , t g^(- 1) t , (1 - e^(- 2 t))/(t)〉

Passo 1

Para calcular o limite de uma função vetorial precisamos calcular o limite de cada componente.

Sendo que o primeiro termo corresponde a componente i , o segundo termo corresponde a componente j e o terceiro termo corresponde a componente k .

Passo 2

Limite da componente i :

underset(t -> oo)(lim) (1 + t^2)/(1 - t ²) = underset(t -> oo)(lim) (t ² ( (1)/(t^2) + 1 ))/(t ² ( (1)/(t^2) - 1 )) = underset(t -> 1)(lim) (0 + 1)/(0 - 1) = - 1

Substituindo oo na função, chegamos a uma indeterminação do tipo (oo)/(oo)

Deste modo, vamos colocar t^2 em evidencia para sair dessa indeterminação,

underset(t -> oo)(lim) (1 + t^2)/(1 - t ²) = underset(t -> oo)(lim) (t ² ( (1)/(t^2) + 1 ))/(t ² ( (1)/(t^2) - 1 )) = underset(t -> oo)(lim) (( (1)/(t^2) + 1 ))/(( (1)/(t^2) - 1 )) = underset(t -> 1)(lim) (0 + 1)/(0 - 1) = - 1 underset(t -> 1)(lim) (0 + 1)/(0 - 1) = - 1

Limite da componente j :

underset(t -> oo)(lim) t g^(- 1) t = (pi)/(2)

Limite da componente k :

underset(t -> oo)(lim) (1 - e^(- 2 t))/(t) = underset(t -> oo)(lim) (1)/(t) - (1)/(t e^(2 t)) = 0 - 0 = 0

Passo 3

Desta forma: underset(t -> oo)(lim) 〈(1 + t^2)/(1 - t ²) , t g^(- 1) t , (1 - e^(- 2 t))/(t)〉 = 〈- 1 , (pi)/(2) , 0〉

Resposta

underset(t -> oo)(lim) 〈(1 + t^2)/(1 - t ²) , t g^(- 1) t , (1 - e^(- 2 t))/(t)〉 = 〈- 1 , (pi)/(2) , 0〉

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