Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2 - Capítulo 15.7 - Ex. 22

∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 ∫ 0 2 π ( ρ cos ⁡ ϕ ρ 2 s e n ϕ d ρ   d ϕ   d θ

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Das técnicas a vir ser utilizados, serão somente comentadas, caso você amigo[a] se interesse, está convidado[a] a buscar a demonstração

Passo 2

∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 cos ⁡ ϕ s e n ϕ 4 ρ 4 0 2 d ϕ   d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 4   cos ⁡ ϕ s e n ϕ     d ϕ   d θ  

Passo 3

Chamemos u = s e n ϕ logo d u = cos ⁡ ϕ d ϕ , e quando ϕ = 0 ,   u = 0 e para u = π 2 , u = 1 2 . Assim:

∫ 0 2 π 4 ∫ 0 1 2 u   d u   d θ

∫ 0 2 π 4 2 u 0 1 2 d θ

∫ 0 2 π d θ

θ 0 2 π

2 π

Resposta

2 π

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