Enunciado

Calcule o valor da integral múltipla.

∫ ∫ ∫ E   y z   d V

onde   E   está acima do plano z = 0 , abaixo do plano z = y e dentro do cilindro x 2 + y 2 = 4 .

Passo 1

E aí meus queridxs, tudo bom com vocês? Vamos lá, precisamos calcular a integral acima de acordo com a região dada. Para isso, vamos primeiramente reescrever nossa integral de forma que ela possa ser escrita como uma integral iterada, então, tomemos a região de integração dada por:   E   está acima do plano z = 0 , abaixo do plano z = y e dentro do cilindro x 2 + y 2 = 4 . Assim, nossa integral pode ser reescrita de forma iterada como sendo

∫ - 2 2 ∫ 0 4 - x 2 ∫ 0 y y z   d z   d y   d x

Passo 2

Beleza, agora que temos nossa integral escrita de forma iterada podemos calcular seu valor de forma bem tranquila, vindo de ‘dentro pra fora’ e enquanto resolvemos uma integral em uma variável consideraremos tudo o que não for essa variável como constante. Dessa forma, temos

∫ - 2 2 ∫ 0 4 - x 2 ∫ 0 y y z   d z   d y   d x

Resolvendo a integral mais interna vamos ter

∫ 0 y y z   d z = y z 2 2 0 y = y 3 2

Agora, ficamos com a seguinte integral dupla a ser resolvida

∫ 0 1 ∫ 0 4 - x 2 y 3 2   d y   d x

Agora, novamente resolvendo a integral mais interna vamos ter

∫ 0 4 - x 2 y 3 2   d z = y 4 8 0 4 - x 2 = 1 8 ⋅ 4 - x 2 2 = 16 - 8 x 2 + x 4 8

Por fim, ficamos com a seguinte integral simples a ser resolvida

∫ 0 1 16 - 8 x 2 + x 4 8   d x =  

1 8 ⋅ 16 x - x 3 3 + x 5 5 0 1 = 64 15

Pronto, tá resolvido nosso exercício sem muitos problemas.

Resposta

64 15

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a. ∫ 0 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 r r d z d θ d r
Descreva em palavras a superfície com a equação dada.
Escreva as equações em coordenadas cilíndricas.
Descreva em palavras a superfície com a equação dada.
Identifique a superfície de acordo com a equação dada.