Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.Revisão - Ex. 27
Calcule o valor da integral múltipla.
ondeestá acima do plano , abaixo do plano e dentro do cilindro .
Passo 1
E aí meus queridxs, tudo bom com vocês? Vamos lá, precisamos calcular a integral acima de acordo com a região dada. Para isso, vamos primeiramente reescrever nossa integral de forma que ela possa ser escrita como uma integral iterada, então, tomemos a região de integração dada por:está acima do plano , abaixo do plano e dentro do cilindro . Assim, nossa integral pode ser reescrita de forma iterada como sendo
Passo 2
Beleza, agora que temos nossa integral escrita de forma iterada podemos calcular seu valor de forma bem tranquila, vindo de ‘dentro pra fora’ e enquanto resolvemos uma integral em uma variável consideraremos tudo o que não for essa variável como constante. Dessa forma, temos
Resolvendo a integral mais interna vamos ter
Agora, ficamos com a seguinte integral dupla a ser resolvida
Agora, novamente resolvendo a integral mais interna vamos ter
Por fim, ficamos com a seguinte integral simples a ser resolvida
Pronto, tá resolvido nosso exercício sem muitos problemas.