Enunciado

Utilize coordenadas polares para calcular

∫ 0 3 ∫ - 9 - x 2 9 - x 2 x 3 + x y 2   d y d x

Passo 1

Faala, galera!

Nessa questão, precisamos calcular uma integral...

∫ 0 3 ∫ - 9 - x 2 9 - x 2 x 3 + x y 2   d y d x

Só que ela deu a integral em coordenadas cartesianas e pediu pra usarmos coordenadas polares!

Primeiro vamos relembrar as coordenadas polares.

Bom, nossas variáveis deixam de ser x e y e passam a ser r e θ , dessa forma:

x = r cos ⁡ θ y = r sin ⁡ θ

Sem nos esquecer do jacobiano que é J = r para essa mudança de variável.

Então pra resolver, a gente vai começar olhando pra região de integração (a partir dos limites de x e y da integral original), assim conseguimos achar os limites de integração das variáveis novas.

E ai fazemos a mudança de variáveis e calculamos a integral!

Passo 2

Os limites de integração da integral que a função deu nos dão isso aqui:

0 ≤ x ≤ 3

- 9 - x 2 ≤ y ≤ 9 - x 2

Isso quer dizer que o domínio de integração D está entre as curvas:

y = - 9 - x 2

y = 9 - x 2

Se a gente elevar os dois lados ao quadrado, descobrimos que na verdade são duas partes da mesma curva:

y 2 = 9 - x 2

x 2 + y 2 = 9

Que é uma circunferência centrada na origem e de raio 3 . A equação com “ - ” representa a parte abaixo do eixo x ( y ≤ 0 ), e a outra representa a parte de cima.

Como o x varia entre 0 e 3 , sabemos que estamos só na parte positiva de x . Assim conseguimos desenhar o domínio:

Em coordenadas polares, como estamos num círculo de raio 3 , o r varia até 3 , e como estamos à direita do eixo y , o θ varia de - π 2 e π 2 :

0 ≤ r ≤ 3

- π 2 ≤ θ ≤ π 2

Agora olhando pro nosso integrando, vamos mudar ele pra coordenadas polares:

x 3 + x y 2 = x x 2 + y 2

Da relação trigonométrica sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 , temos que

x 2 + y 2 = r 2

Então

x 3 + x y 2 = r cos ⁡ θ ∙ r 2 = r 3 cos ⁡ θ

Então nossa integral fica:

∫ - π 2 π 2 ∫ 0 3 r 3 cos ⁡ θ ⏟ i n t e g r a n d o o r i g i n a l ⋅ r ⏟ J d r d θ

Passo 3

Agora vamos começar a integrar, de dentro pra fora.

Primeiro, integramos em função de r . Nesse caso, consideramos θ como uma constante!

∫ - π 2 π 2 ∫ 0 3 r 4 cos ⁡ θ d r d θ

Como cos ⁡ θ é constante em função de r , podemos tirar dessa primeira integral:

= ∫ - π 2 π 2 cos ⁡ θ ∫ 0 3 r 4 d r d θ =

= ∫ - π 2 π 2 cos ⁡ θ r 5 5 0 3 d θ =

Aplicando nos limites de integração:

= ∫ - π 2 π 2 cos ⁡ θ 3 5 5 - 0 d θ =

Como 3 5 5 é constante, pode sair da integral, e integramos em função de θ :

= 3 5 5 ∫ - π 2 π 2 cos ⁡ θ d θ =

= 3 5 5 sen ⁡ θ - π 2 π 2 =

Calculando nos limites:

= 243 5 ∙ sen ⁡ π 2 - sen ⁡ - π 2 =

= 243 5 ∙ 1 - - 1

Então:

∫ 0 3 ∫ - 9 - x 2 9 - x 2 x 3 + x y 2   d y d x = 486 5

Resposta

486 5

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Utilize a integral dupla para determinar a área da região.A região interior a ambos os círculos r = s e nθ e r = cos ⁡ θ .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∬ R y e xd A , onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x 2 + y 2 = 25 .
Utilize a integral dupla para determinar a área da região.A região dentro do círculo r = 1 + cos ⁡ θ e fora do círculo r = 3 cos ⁡ θ .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.14. ∬ D xd A Onde D é a região no primeiro quadrante que se encontra entre os círculos x 2 + y 2 = 4 e x 2 + y 2 = 2 x .
Utilize a integral dupla para determinar a área da região.A região delimitada pela curva r = 4 + 3 cos ⁡ θ .