Enunciado

Utilize coordenadas polares para calcular

int_0^3 int_(- sqrt(9 - x^2))^(sqrt(9 - x^2)) (x^3 + x y^2) d y d x

Passo 1

E aí meus queridxs, tudo bem com vocês? Se liga só, como a questão foi bem direta com relação ao que deseja vamos direto ao ponto. Primeiramente vamos reescrever nossa equação como sendo

int_0^3 int_(- sqrt(9 - x^2))^(sqrt(9 - x^2)) x * (x^2 + y^2) d y d x

Para fazer a mudança de variável seguimos o seguinte macete

{(x = r * cos (theta))/(y = r * sin (theta)))

Sem nos esquecer do jacobiado que é dado por r para essa mudança de variável. Nossa região de integração é dada por

Sendo assim, poderemos reescrever nossa integral como sendo

int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) int_0^3 r * cos (theta) * r^2 * r d r d theta

Passo 2

Para resolver essa integral podemos proceder da seguinte maneira

int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) cos (theta) d theta int_0^3 r^5 d r = [sin (theta)]_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) * [(r^6)/(6)]_0^3 = 2 * (1)/(5) * 243 = (486)/(5)

E voilà! Tá concluído nosso exercício, sem muitos problemas.

Resposta

(486)/(5)

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Utilize a integral dupla para determinar a área da região.A região interior a ambos os círculos r = s e nθ e r = cos ⁡ θ .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∬ R y e xd A , onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x 2 + y 2 = 25 .
Utilize a integral dupla para determinar a área da região.A região dentro do círculo r = 1 + cos ⁡ θ e r = 3 cos ⁡ θ .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∬ D xd A Onde D é a região no primeiro quadrante que se encontra entre os círculos x 2 + y 2 = 4 e x 2 + y 2 = 2 x .
Utilize a integral dupla para determinar a área da região.A região delimitada pela curva r = 4 + 3 cos ⁡ θ .