Enunciado

3 . Utilizando o teorema de Pappus (veja Vol. 1, 5.ª edição), calcule o volumedo sólido obtido pela rotação, em torno da reta dada, do conjunto B dado.

c. B =   x ,   y ∈   R 2   x 2   +   4 y 2   ≤   1 }   e   x   +   y   =   3 a reta

Passo 1

O teorema de Pappus diz que

V = 2 π r - A

Onde r - é a distância entre o centro do nosso objeto a reta

A Area do objeto que estamos rotacionando

Passo 2

Neste item vamos calcular

x 2   +   4 y 2   ≤   1  

Na reta

x   +   y   =   3

De cara podemos Calcular a área da nossa superfície. Visto que implica numa superfície

A = a b π → 1 2 π

Passo 3

Geometricamente teremos

Queremos no caso a distancia do Ponto (0,0) ate a reta. E como já vimos em geometria analítica, a menor distancia é a que é perpendicular a reta e transpassa o ponto, ou seja a reta cinza. Logo podemos concluir que

r - = 1,5 2

Assim

V = 2 π r - A

V = 2 π 1,5 2 1 2 π

V = 1,5 2 π 2

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

V = 1,5 2 π 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido por subtração de dois volumes.O sólido delimitado pelo paraboloide cilíndrico y = x 2 e pelos planos z = 3 y e z = 2 + y .
Use um sistema de computação algébrico para determinar o volume exato do sólido.Delimitado por z = 1 - x 2 - y 2 e z = 0 .
Use um sistema de computação algébrico para determinar o volume exato do sólido.Entre os paraboloides z = 2 x 2 + y 2 e = 8 - x 2 - 2 y 2 e dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1 .
Use um sistema de computação algébrico para determinar o volume exato do sólido.Delimitado por z = x 2 + y 2 e z = 2 y .
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 1 - xd yd x