Enunciado

Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.

18) y = ∫ s e n   x 1 1 + t ² . d t

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Temos a seguinte integral:

y = ∫ s e n   x 1 1 + t ² d t

E o enunciado pede pra calcular y ' usando a parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo! Vamos dar uma relembrada:

Ele diz que se f for contínua no intervalo fechado [ a , b ] então podemos definir a função:

g x = ∫ a x f t   a ≤ x ≤ b

Onde g é contínua em [ a . b ] e derivável em ( a , b ) . Além disso g ' x = f ( x ) .

Passo 2

No nosso caso temos a função:

f t = 1 + t ²

O problema é que também temos uma função dentro do limite de integração, sin ⁡ x , então vamos fazer a seguinte substituição:

u = s e n   x

Se queremos a derivada de y em função de x podemos usar a Regra da Cadeia:

d y d x = d y d u . d u d x

Então primeiro vamos derivar y em fun��ão de u :

d y d u = d d u ∫ u 1 1 + t ² d t

Podemos inverter os limites de integração:

d y d u = - d d u ∫ 1 u 1 + t ² d t

Assim fica mais parecido com o caso geral do teorema! Falando nele, devemos ter a função f ( t ) contínua dentro do intervalo de integração. Para isso devemos ter:

1 + t 2 ≥ 0

Como temos o t 2 , não tem como a nossa expressão ser negativa! Então a função será sempre contínua!

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

d y d u = - 1 + u ²

Substituindo u:

d y d u = - 1 + s e n ² ( x )

Agora nos falta achar d u d x :

d u d x = cos ⁡   ( x )

Vamos jogar tudo isso na Regra da Cadeia:

y ' = - cos ⁡   ( x ) 1 + s e n ² ( x )

Resposta

y ' = - cos ⁡   ( x ) 1 + s e n ² ( x )

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