Enunciado

Mude de coordenadas retangulares para esféricas.

  1. ( 1,0 , sqrt(3) )
  2. ( sqrt(3) , - 1,2 sqrt(3) )

Passo 1

Letra a:

Vamos começar encontrando a variável rho . A transformação dela para coordenadas retangulares é:

rho = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)

E como temos todas as coordenadas retangulares é só substituir:

rho = sqrt(1^2 + (0)^2 + sqrt(3)^2) = 2

Agora, sabendo o argumento rho , podemos usar a relação da componente z com o ângulo varphi :

z = rho cos varphi

Assim temos:

c o s varphi = (z)/(rho) = (sqrt(3))/(2)

Daí o ângulo que nos dá c o s varphi = (sqrt(3))/(2) é (pi)/(6) .

E por fim para determinar o ângulo theta podemos usar tanto a coordenada x , quanto a y . Vou usar a coordenada y . A relação entre ela e os ângulos theta e varphi é:

y = rho s e n theta s e n varphi

Daí:

s e n theta = (y)/(rho s e n varphi) = (0)/(2 (s e n ((pi)/(6)))) = 0

theta = 0 o u pi

Mas como y >= 0 , então a escolha correta é theta = 0 .

Assim em coordenadas esféricas o ponto (1 , 0 , sqrt(3)) é (2,0 , (pi)/(6)) . Certo? Vamos pra letra b? Então borá lá!

Passo 2

Letra b:

Vamos começar novamente encontrando a variável rho . A transformação dela para coordenadas retangulares (como já vimos no passo anterior) é:

rho = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)

E como temos todas as coordenadas retangulares é só substituir:

rho = sqrt(( sqrt(3) )^2 + (- 1)^2 + ( 2 sqrt(3) )^2) = sqrt(16) = 4

Agora, sabendo o argumento rho , podemos usar a relação da componente z com o ângulo varphi :

z = rho cos varphi

Assim temos:

c o s varphi = (2 sqrt(3))/(4) = (sqrt(3))/(2)

Daí o ângulo que nos dá c o s varphi = (sqrt(3))/(2) é (pi)/(6) .

E por fim para determinar o ângulo theta podemos usar tanto a coordenada x , quanto a y . Vou usar novamente a coordenada y . A relação entre ela e os ângulos theta e varphi é:

x = rho s e n theta s e n varphi

Daí:

s e n theta = (y)/(rho s e n varphi) = (- 1)/(4 (s e n ((pi)/(6)))) = (- 1)/(4 ((1)/(2)))

Daí vamos simplificar, saca só:

s e n theta = - (1)/(4) . (2)/(1) = - (1)/(2)

theta = (7 pi)/(6) o u (11 pi)/(6)

Mas como x > 0 , e y < 0 então a escolha correta é theta = (5 pi)/(3) .

Assim em coordenadas esféricas o ponto (sqrt(3) , - 1,2 sqrt(3)) é (4 , (7 pi)/(6) , (pi)/(6)) .

Tudo bem até aqui? Vamos pra próxima questão?

Resposta

a ) (2,0 , (pi)/(6))

b ) (4 , (7 pi)/(6) , (pi)/(6))

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