Calcule

d) ∫ ∫ ∫ B x + y ⋅ x + 2 ⋅ y - z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é a região 1 <= x + y <= 2 , 0 <= x + 2 \* y - z <= 1 e 0 <= z <= 1 .

Passo 1

Nesse problema iremos calcular a integral tripla usando uma transformação para coordenadas esféricas e calcular o jacobiano, além de analisar o intervalo de integração.

Passo 2

Bom, vamos começar! Temos que nosso conjunto é dado e aparentemente precisara de uma transformação para outro tipo de coordenadas. Aplicando uma transformação para outro tipo de coordenadas, temos que

x + y = u

x + 2 ⋅ y - z = v

z = z

Com o jacobiano sendo d x ⋅ d y ⋅ d z = 1 ⋅ d u ⋅ d v ⋅ d z . Os novos intervalos de integração serão

1 ≤ u ≤ 2

0 ≤ v ≤ 1

0 ≤ z ≤ 1

Substituindo na integral, ficamos com

∫ ∫ ∫ B x ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z   = ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 1 2 u ⋅ v 1 3 ⋅ d u ⋅ d v ⋅ d z = ∫ 1 2 u ⋅ d u ⋅ ∫ 0 1 v 1 3 ⋅ d v ⋅ ∫ 0 1 d z =

= 2 3 ⋅ u 3 1 2 ⋅ 3 4 ⋅ v 4 3 0 1 ⋅ z 0 1 = 2 3 ⋅ 2 ⋅ 2 - 1 ⋅ 3 4 = 1 2 ⋅ 2 ⋅ 2 - 1

Resposta

∫ ∫ ∫ B x + y ⋅ x + 2 ⋅ y - z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z = 1 2 ⋅ 2 ⋅ 2 - 1

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