Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.7 - Ex. 31
Utilize as coordenadas esféricas.
a) Determine o volume do sólido que está acima do cone e abaixo da esfera .
b) Encontre o centroide do sólido da parte (a).
Passo 1
Em coordenadas esféricas, o volume de um sólido é dado por
Já o centroide (ou centro de massa) é calculado através dos momentos:
onde
A esfera é esboçada a seguir:
Note a simetria com relação aos eixos e . Assim, como as funções e são ímpares, as integrais e serão nulas, de modo que .
Passo 2
Neste passo vamos calcular o volume do sólido. Como queremos apenas a região acima do cone , a variável ficará restrita ao intervalo , enquanto vai variar de até . Além disso, como os limites de integração de dependem de , devemos primeiro integrar em :
Portanto,
Chamando , temos que :
Passo 3
Já sabemos que , falta apenas calcular :
Em coordenadas cilíndricas, , de modo que
Assim,
Fazendo :
Portanto,
Resposta
a)
b)
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