Enunciado

No cálculo, a curvatura de uma curva de equação y = f ( x ) é definida pelo número

k = y ' ' 1 + y ' 2 3 2

Determine uma função para a qual k = 1 . [Sugestão: por simplicidade, ignore constantes de integração. Também considere uma substituição trigonométrica.]

Passo 1

Fala aí, tudo joia?

Bom, queremos determinar a função para a qual k = 1 , ou seja:

1 = y ' ' 1 + y ' 2 3 2

y ' ' = 1 + y ' 2 3 2

Vamos começar reduzindo a ordem dela, fazendo:

u = y '

E daí:

u ' = y ' '

Passo 2

Substituindo isso na nossa EDO, temos:

u ' = 1 + u 2 3 2

d u d x = 1 + u 2 3 2

d u = 1 + u 2 3 2   d x

d u 1 + u 2 3 2 = d x

Chegamos a uma equação separável (já separada haha). Vamos integrar os dois lados agora...

Passo 3

Integrando os dois lados...

∫ d x = ∫ d u 1 + u 2 3 2

Para resolver essa segunda integral, vamos fazer a substituição u = tg ⁡ θ :

x = ∫ s e c 2 θ 1 + tg 2 ⁡ θ 3 2   d θ  

Agora, temos que:

s e c 2 θ = 1 + tg 2 ⁡ θ

x = ∫ s e c 2 θ s e c 3 θ d θ

Vamos simplificar...

x = ∫ cos ⁡ θ   d θ

x = sen ⁡ θ

Passo 4

Agora temos que voltar para u . Bom, se u = tg ⁡ θ , o que é sen ⁡ θ ?

u = sen ⁡ θ cos ⁡ θ

sen ⁡ θ = u cos ⁡ θ

sen ⁡ θ = u ⋅ 1 s e c 2 θ

sen ⁡ θ = u 1 + u 2

Então temos que:

x = u 1 + u 2

Passo 5

Mas, u = y ' , então temos:

x = y ' 1 + y ' 2

x 2 = y ' 2 1 + y ' 2

x 2 1 + y ' 2 = y ' 2

y ' 2 1 - x 2 = x 2

y ' 2 = x 2 1 - x 2

y ' =   x 1 - x 2

Passo 6

Agora só falta integrarmos e pronto!

y = ∫ x 1 - x 2   d x

y = - 1 - x 2

E finalmente, terminamos😉

Resposta

y = - 1 - x 2

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