Enunciado

Uma carga elétrica é distribuída sobre o retângulo 0 ≤ x ≤ 5 , 2 ≤ y ≤ 5 , de modo que a densidade de carga em x , y é σ x , y = 2 x + 4 y (medida em coulombs por metro quadrado). Determine a carga total no retângulo.

Passo 1

Para podermos calcular a carga total, precisamos resolver a seguinte integral:

Q = ∬ D σ x , y d A

Em que D é a região retangular. Portanto, precisamos resolver a integral:

∫ 0 5 ∫ 2 5 2 x + 4 y d y d x

Passo 2

Agora, vamos resolver a nossa integral. Primeiramente, temos

∫ 0 5 ∫ 2 5 2 x + 4 y d y d x = ∫ 0 5 2 x y + 2 y 2 2 5 d x

∫ 0 5 2 x y + 2 y 2 2 5 d x = ∫ 0 5 10 x + 50 - 4 x - 8 d x

∫ 0 5 6 x + 42 d x = 3 x 2 + 42 x 0 5 = 75 + 210 = 285

Resposta

Q = ∫ 0 5 ∫ 2 5 2 x + 4 y d y d x = 285   C

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