Enunciado

a) Use uma soma de Riemann com m = n = 2 para estimar o valor de ∬ R s e n   x + y   d A , onde R = 0 , π × [ 0 , π ] . Tome como pontos amostrais os cantos inferiores esquerdos.

b) Use a regra do ponto médio para dar uma estimativa da integral do item (a).

Passo 1

A questão pede para estimar a integral de duas formas diferentes usando a soma de Riemann: no item (a) vamos usar como pontos amostrais os extremos inferiores esquerdos dos retângulos; já no item (b) usaremos o ponto médio.

Fazendo a soma de Riemann com m = n = 2 , vamos particionar os intervalos em x e y em duas partes. Em x , teremos os intervalos

0 , π 2   e   π 2 , π

O mesmo ocorre no intervalo em y . Desta forma, os retângulos serão na verdade quadrados de lado π / 2 , de modo que

Δ A = π 2 2 = π 2 4

Assim,

∬ R s e n   x + y   d A ≈ ∑ i = 1 2 ∑ j = 1 2 f x i , y j   Δ A   = π 2 4 ⋅ ∑ i = 1 2 ∑ j = 1 2 f x i , y j   ,

onde f x , y = s e n   ( x + y ) .

Passo 2

Neste passo vamos resolver o item (a). Tomando como pontos amostrais os cantos inferiores esquerdos, podemos construir uma tabela com os valores de f ( x i , y j ) :

Somando todos os pontos da tabela:

∑ i = 1 2 ∑ j = 1 2 f x i , y j   = 1 + 1 = 2

Assim,

∬ R s e n   x + y   d A ≈ π 2 2

Passo 3

Neste passo vamos resolver o item (b):

Usando a regra do ponto médio, a tabela com os valores de f fica:

Somando os termos da tabela, temos que

∑ i = 1 2 ∑ j = 1 2 f x i , y j   = 1 - 1 = 0

Assim, pela regra do ponto médio

∬ R s e n   x + y   d A ≈ 0

Resposta

a) π 2 / 2

b) 0

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