Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.7 - Ex. 11
- Uma companhia produz chips de computador a partir de placas quadradas de silício. Ela quer manter o comprimento do lado da placa muito próximo de e deseja saber como a área da placa varia quando mudamos o comprimento do lado. Encontre e explique seu significado nessa situação.
- Mostre que a taxa de variação da área de um quadrado em relação ao comprimento de seu lado é a metade de seu perímetro. Tente explicar geometricamente por que isso é verdade, desenhando um quadrado cujo comprimento de lado é aumentado em . Como aproximar as mudanças resultantes na área se for pequeno?
Passo 1
Opa, nesse problema temos historinha!
Vamos imaginar que você é o engenheiro de uma companhia que produz chips de computador a partir de placas quadradas de silício. Queremos produzir um chip com o comprimento muito próximo de mas a gente também quer saber como a área total varia com . Pra isso fazemos:
Derivando:
Como bons engenheiros que somos, devemos entender o significado do que a gente calcula! Acima temos uma reta com inclinação positiva igual a .
Isso significa que quanto maior for o comprimento do lado do chip, maior será a sua área e esse crescimento acontece de forma linear!
Devemos também encontrar :
E esse valor representa a taxa em que a área está aumentando em relação ao comprimento do lado quando atinge .
Passo 2
Para a letra (b) devemos mostrar que a taxa de variação da área de um quadrado em relação ao é a metade de seu perímetro.
O perímetro é calculado pela soma dos lados, então para um quadrado:
A taxa de variação é:
Tá provado! Mas o que isso significa?
Vamos desenhar um esqueminha pra entender melhor:
Se calcularmos a variação da área (), teremos que:
Se for pequeno, teremos que , daí:
Então:
Esse é o mesmo resultado que encontramos lá em cima! Na prática significa que pra cada unidade de comprimento do chip temos o dobro em área!
Resposta
- Ver o desenvolvimento.
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