Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

  1. Os critais de cloreto de sódio são fáceis de crescer no formato de cubo, ao se permitir uma solução de água e cloreto de sódio evaporar vagarosamente. Se V for o volume de cada cubo com comprimento de lado x , calcule d V / d x quando x = 3 m m e explique seu significado.
  2. Mostre que a taxa de variação do volume de cada cubo em relação ao comprimento da aresta é igual a metade da área da superfície do cubo. Explique geometricamente por que esse resultado é verdadeiro, mostrando um argumento análogo ao do Exercício 11(b).

Passo 1

  1. Podemos escrever o volume de um cubo como sendo
  2. V x = x 3

    Então

    d V d x = V ' x = 3 x 2

    Daí

    V ' 3 = 3 ⋅ 3 2 = 27 m m 3 / m m

    E esse valor representa a taxa em que o volume está aumentando em relação ao comprimento do lado quando x atinge 3   m m .

    Passo 2

  3. A área da superfície de um cubo pode ser calculada como

A s x = 6 ⋅ x 2

A s x 2 = 3 x 2

A s x 2 = V ' x

Passo 2

Passo 3

Passo 4

Passo 5

Passo 6

Passo 7

Passo 8

(b)Agora, podemos demonstrar geometricamente

Se todas as faces do cubo variarem como mostra a figura, teremos que

∆ V = x 2 ∆ x + x 2 ∆ x + x 2 ∆ x + ∆ x 3

∆ V = 3 x 2 ∆ x + ∆ x 3

Se ∆ x for pequeno, teremos que ∆ x 3 ≈ 0 . Portanto

∆ V = 3 x 2 ∆ x

Daí,

∆ V ∆ x = 3 x 2

Resposta

  1. V ' 3 = 27 m m 3 / m m

Exercícios de Livros Relacionados

20. Caminhão na estrada O gráfico a seguir mostra a posição de um cami
Encontre a taxa de variação média da área de um círculo em relação ao
O número de células de levedura em uma cultura de laboratório aumenta
O rendimento total recebido da venda de x carteiras é R x = 200 x - 1
A quantidade de carga Q , em coulombs (C), que passa através de um pon