Enunciado

Comparando áreas, mostre que

(1)/(2) + (1)/(3) + ... + (1)/(n) < ln n < 1 + (1)/(2) + (1)/(3) + ... + (1)/(n - 1)

Passo 1

Para resolver essa questão através da comparação de áreas vamos utilizar n retângulos que estão abaixo da nossa curva e vamos utilizar também n retângulos que estarão acima da nossa curva, onde nossa curva é y = (1)/(t) . Dessa forma, denotando os nossos retângulos que estão abaixo da curva por R_n vamos ter

Á r e a d e R_n = (1)/(1 + n)

Como temos n - 1 retângulos de base 1 teremos

(1)/(2) + (1)/(3) + (1)/(4) + ... + (1)/(n) < ln (n)

Agora, tomando os n - 1 retângulos que estão acima da curva vamos ter

Á r e a d e R_n = (1)/(n)

Como temos n - 1 retângulos e todos estão acima da nossa curva teremos que

ln (n) < 1 + (1)/(2) + (1)/(3) + (1)/(4) + ... + (1)/(n - 1)

Portanto, juntando ambos os resultados temos que

(1)/(2) + (1)/(3) + (1)/(4) + ... + (1)/(n) < ln (n) < 1 + (1)/(2) + (1)/(3) + (1)/(4) + ... + (1)/(n - 1)

Como queríamos demonstrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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