Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.9 - Ex. 42
(a) Completando o quadrado, mostre que
(b) Usando a fatoração de como uma soma de cubos, reescreva a integral no item (a). Depois expresse como a soma de uma série de potências e use-a para demonstrar a seguinte fórmula para :
Passo 1
(a) Para completar o quadrado no denominador, precisamos que
Expandindo o quadrado do parênteses
Pela igualdade de polinômios
Temos também que
Então temos que
Passo 2
Substituindo na integral, temos
Colocando em evidencia
Vamos colocar o multiplicando o quadrado para dentro do parênteses,para isso precisamos aplicar a raiz para cancelar o quadrado
Passo 3
Podemos agora fazer uma substituição, para isso, vamos esquecer um pouco os limites de integração, depois voltamos pra eles, vamos deixar de fora também a constante, focando só na integral
Substituindo
Na integral fica
Substituindo de volta
Passo 4
Voltando para a integral definida
Passo 5
(b) Podemos fatorar como
Isalando o polinômio quadrático
Calculando como uma série
Se substituirmos
Na integral definida
Podemos juntar as séries antes de substituir
Passo 6
Como calculamos a integral por duas maneiras e é uma integral definida, podemos igualar os resultados
Isolando
Racionlizando a fração
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)