Enunciado

Convergência e divergência: Quais das sequências { a n } nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.

86. a n = ( l n   n ) 5 n

Passo 1

Fala, galerinha! Tudo bem? Então, vem comigo para mais uma resolução!

Para saber se a sequência converge, temos que calcular o limite dela quando n → ∞ . Se ela for convergente, essa operação já vai nos dar o limite da sequência. Então, nós temos

l i m n → ∞ a n = l i m n → ∞ ( l n   n ) 5 n

Tanto o numerador quanto o denominador tendem a infinito, então temos uma indeterminação do tipo ∞ ∞ . Então, precisamos da regra de L’Hôpital, que nós vamos usar no passo seguinte.

Passo 2

Aplicando L’Hôpital ao limite, nós ficamos com

l i m n → ∞ l n a n = l i m n → ∞ ( l n   n ) 5 n = l i m n → ∞ d d n ( l n   n ) 5 d d n n

l i m n → ∞ l n a n = l i m n → ∞ 5 ( l n   n ) 4 / n 1 / 2 n = l i m n → ∞ 5 ⋅ 2 ( l n   n ) 4 n n

l i m n → ∞ l n a n = l i m n → ∞ 10 ( l n   n ) 4 n

Então, continuando com uma indeterminação do tipo ∞ ∞ e precisamos aplicar L’Hôpital de novo:

l i m n → ∞ l n a n = l i m n → ∞ 10 d d n ( l n   n ) 4 d d n n = l i m n → ∞ 10 ⋅ 4 ( l n   n ) 3 / n 1 / 2 n

l i m n → ∞ l n a n = l i m n → ∞ 10 ⋅ 8 ( l n   n ) 3 n

Passo 3

Ainda temos que aplicar L'Hôpital mais algumas vezes, mas já dá pra notar o padrão:

l i m n → ∞ l n a n = 10 ⋅ 8 ⋅ . . . ⋅ ( 2 N + 2 ) l i m n → ∞ ( l n   n ) N n

Então, quando N = 0 , nós vamos ter

l i m n → ∞ l n a n = 10 ⋅ 8 ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ 2 l i m n → ∞ ( l n   n ) 0 n = 10 ⋅ 8 ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ 2 l i m n → ∞ 1 n

l i m n → ∞ l n a n = 10 ⋅ 8 ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ 2 ⋅ 0 = 0

Logo, a sequência converge para 0 .

Resposta

Convergente. l i m n → ∞ l n a n = 0

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