Enunciado

(Coordenadas esféricas) Seja P = ( x , y , z ) e considere a terna ( θ ,   ρ ,   φ ) onde θ é o ângulo entre o semieixo positivo O x e o vetor O P 1 → = ( x , y , 0 ) , ρ o comprimento do vetor O P → e φ o ângulo entre o semieixo positivo O z e o vetor O P → .

Os números θ, ρ e φ são as coordenadas esféricas do ponto P. Verifique que as coordenadas esféricas θ ,   ρ ,   ϕ relacionam-se com as cartesianas do seguinte modo:

x = ρ s e n ϕ cos ⁡ θ y = ρ s e n   ϕ s e n   θ z = ρ cos ⁡ ϕ

Passo 1

Vamos nos apoiar nessa figura, chamando de r o segmento que liga a origem até o ponto P 1 .

A partir daí, a gente tem o seguinte:

r = ρ cos ⁡ π 2 - ϕ = ρ s e n   ϕ

Sendo que:

x =   r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

z = ρ cos ⁡ ϕ

Substituindo agora o r nas expressões de x   e   y a gente encontra:

x = ρ s e n ϕ cos ⁡ θ y = ρ s e n ϕ s e n   θ z = ρ cos ⁡ ϕ

Prontinho! Está verificado😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Identifique a superfície que tem a equação paramétrica dada. r → x , θ = x , cos ⁡ θ ,s e nθ
Seja σ u , v , w = ( u cos ⁡ v ,us e nv ,w ) , 0 ≤ u ≤ 1 , 0 ≤ v ≤ 2 π e 0 ≤ w ≤ 1 . Desenhe a imagem de σ .
Seja σ a transformação do exercício anterior. Verifique que σ transforma o retângulo 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 2π e w = 1, em um círculo. Desenhe tal círculo.
Considere a transformação σ (θ, ρ, φ) = (x, y, z) onde x = ρ sen φ cos θ, y = ρ sen φ sen θ e z = ρ cos φ.Desenhe σ (B) onde B é o conjunto ρ = ρ 1 ( ρ 10 constante), 0 ≤ θ ≤ 2π e 0 ≤ φ ≤ π.Desenhe σ