Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.7 - Ex. 23
A Lei de Boyle afirma que quando uma amostra de gás é comprimida a uma temperatura constante, o produto da pressão pelo volume permanece constante:
- Encontre uma taxa de variação do volume em relação a pressão.
- Uma amostra de gás está em um recipiente à baixa pressão e é regularmente comprimida à temperatura constante por 10 minutos. O volume decresce mais rapidamente no início ou no final dos 10 minutos? Explique.
- Demonstre que a compressibilidade isotérmica (veja o Exemplo 5) é dada por
Passo 1
Opa, bora lá! Temos a Lei de Boyle, que diz que quando um gás é comprimido a uma temperatura constante, a pressão vezes o volume é uma constante.
Sabendo disso a primeira coisa que o precisamos calcula é a taxa de variação do volume em relação a pressão.
Para encontrar a taxa de variação do volume em relação a pressão, basta fazermos:
Derivamos em relação a pressão pois é a taxa de variação em relação a essa variável que queremos.
Pela fórmula de podemos ver que se aumenta, o valor absoluto de diminui, então, o volume está diminuindo mais rapidamente no início.
Passo 2
Agora vamos pra letra (b)! Se uma amostra de gás for comprimida por o volume vai decrescendo com o passar do tempo. A taxa de decrescimento deve ser maior no início do tempo ou no final?!
Vamos pensar, calculamos:
Pela fórmula de podemos ver que se aumenta, o valor absoluto de diminui, então, o volume está diminuindo mais rapidamente no início dos 10 minutos!
Passo 3
Agora pra acabar! Temos que a compressibilidade isotérmica é dada por:
Temos que provar que isso é verdade! Do exemplo 5 do livro, temos que:
Sabemos que:
Daí, temos:
Sabemos que:
Então:
Uhuuul!
Resposta
- Pela fórmula de podemos ver que se aumenta, o valor absoluto de diminui, então, o volume está diminuindo mais rapidamente no início.
- Desenvolvimento acima.
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