Enunciado

a) A curva y = 1 / ( 1 + x 2 ) é chamada de bruxa de Maria Agnesi. Encontre a equação para a reta tangente a essa curva no ponto - 1 , 1 2 .

b) Ilustre a a parte (a) fazendo o gráfico da curva e da reta tangente na mesma tela.

Passo 1

E aí! tudo certinho?

Precisamos achar a equação da reta tangente à curva no ponto dado.

y = 1 1 + x 2 ,     - 1 , 1 2

Para isso, precisamos derivar a função para achar o coeficiente angular da reta tangente e assim usar a equação da reta, que é dada por:

y - y 0 = m   ( x - x 0 )

Em que m é o coeficiente angular da reta, que encontraremos derivando.

Veja só! 😊

Passo 2

Vamos achar o coeficiente angular da reta tangente derivando a função pela regra do quociente.

A regra do quociente é dada por:

d d x u v = v u ' - u v ' v 2

Aplicando:

y ' = 1 ' ⋅ 1 + x 2 - 1 ⋅ 1 + x 2 ' 1 + x 2 2

y ' = - 2 x 1 + x 2 2

Substituindo x = - 1 para encontrarmos o valor do coeficiente angular no ponto requerido:

m = - 2 ⋅ - 1 1 + 1 2

m = 1 2

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Usando m = 1 / 2 , x 0 = - 1 e y 0 = 1 / 2 na equação da reta:

y - 1 2 = 1 2   ( x + 1 )

y = x 2 + 1 2 + 1 2

y = x 2 + 1

Bacana, não é? 😉

Passo 4

Em vermelho temos a curva e em azul a reta tangente. Nosso gráfico foi gerado com o auxilio do GeoGebra.

E aí! o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

a)   y = x 2 + 1 .

b)

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