Enunciado

Dada uma série qualquer ∑ a n definimos uma série ∑ a n + cujos termos são todos termos positivos de ∑ a n e uma série ∑ a n - cujos termos são todos termos negativos de ∑ a n . Para ser específico, seja

a n + = a n + a n 2                                         a n - = a n - a n 2

Observe que, se a n > 0 , então a n + = a n e a n - = 0 , ao passo que, se a n < 0 , então a n - = a n e a n + = 0 .

(a) Se   ∑ a n for absolutamente convergente, mostre que ambas as séries ∑ a n + e ∑ a n - são convergentes.

(b) Se ∑ a n for condicionalmente convergente, mostre que ambas as séries ∑ a n + e ∑ a n - são divergentes.

Passo 1

(a) Galera, pela definição apresentada no enunciado, a n + e a n - só podem ter o valor 0 ou a n . Então podemos escrever:

a n + ≤ a n                                         a n - ≤ | a n |

Como temos ∑ a n absolutamente convergente, então ∑ a n converge, e pelo Teste da Comparação, ambas as séries ∑ a n + e ∑ a n - são convergentes. Ou seja, ambas as séries ∑ a n + e ∑ a n - são absolutamente convergentes, e portanto, convergentes.

Passo 2

(b) Agora vamos supor que a afirmação que queremos provar é falsa, e assim demonstrá-la ao achar uma contradição. Então, considerando que ∑ a n é condicionalmente convergente, ou seja, que ∑ a n converge, mas que ∑ a n diverge, vamos supor por contradição que ∑ a n + converge. Então teríamos que a série

∑ a n + - 1 2 a n

também convergiria, pois ela é a soma de duas séries convergentes. Mas, olha o seguinte:

∑ a n + - 1 2 a n = ∑ 1 2 a n + a n - 1 2 a n = 1 2 ∑ a n

Mas já vimos que ∑ a n é divergente, logo, temos uma contradição, pois a série ∑ a n + - 1 2 a n não pode ser convergente e divergente ao mesmo tempo!

Então ∑ a n + diverge.

Passo 3

Galera, podemos proceder analogamente para provar que ∑ a n - diverge. Considerando que ∑ a n é condicionalmente convergente, ou seja, que ∑ a n converge, mas que ∑ a n diverge, vamos supor por contradição que ∑ a n - converge. Então teríamos que a série

∑ a n - - 1 2 a n

também convergiria, pois ela é a soma de duas séries convergentes. Mas, olha o seguinte:

∑ a n - - 1 2 a n = ∑ 1 2 a n - a n - 1 2 a n = - 1 2 ∑ a n

Mas já vimos que ∑ a n é divergente, logo, temos uma contradição. Então ∑ a n - diverge.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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