Enunciado

Teste a convergência ou divergência da série:

sum_(n = 1)^(oo) (3^n n^2)/(n !)

Passo 1

Huummm....Sentiu o cheirinho?

Aquele fatorial ali no denominador tá cheirando a “Teste da Razão”. Partiu aplicar o teste?

Como a nossa série é sempre positiva, vamos considerar logo o seguinte limite:

underset(n -> oo)(lim) (a_n + 1)/(a_n) = underset(n -> oo)(lim) ((3^((n + 1)) (n + 1)^2)/((n + 1) !))/((3^n n^2)/(n !)) = underset(n -> oo)(lim) (3^((n + 1)) (n + 1)^2)/((n + 1) !) * (n !)/(3^n n^2) = = underset(n -> oo)(lim) [(3^(( n + 1 )))/(3^n) * (( n + 1 )^2)/(n^2) * (n !)/((n + 1) !)] = underset(n -> oo)(lim) [3 * (1 + (1)/(n))^2 * (1)/((n + 1))] = 3 * 1 * 0 = 0

Passo 2

Como o nosso limite underset(n -> oo)(lim) (a_n + 1)/(a_n) = 0 < 1 , chegamos à conclusão de que a nossa série é convergente!

Resposta

sum_(n = 1)^(oo) (3^n n^2)/(n !) é c o n v e r g e n t e

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