Enunciado

Dado que o gráfico de f passa pelo ponto 2,5 e que a inclinação de sua reta tangente em x , f x é 3 - 4 x , ache f 1 .

Passo 1

Vamos lá, sabemos que a inclinação da reta tangente em x , f x é 3 - 4 x significa que:

f ' x = 3 - 4 x

Vamos então achar a antiderivada, para achar f vamos ter que achar a antiderivada geral, sabemos que uma função F é chamada de antiderivada de f em um intervalo I se:

F ' x = f x

para todo x em I .

E se F é uma antiderivada de f nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de f em I é:

F x + C

onde C é uma constante qualquer.

Pronto, então vamos achar a antiderivada, pra isso temos que achar uma função que derivando f nós encontramos F .

Para achar f vamos ter que achar a antiderivada uma vez, vamos lá!

Passo 2

Vamos então agora calcular, para achar a antiderivada temos que a antiderivada da função geral x n com n ≠ 1 , da função constante e de c f x são da forma:

x n + 1 n + 1

C x

c F x

Agora é só aplicar:   3 - 4 x

f x = 3 x - 4 x 1 + 1 1 + 1 + C = 3 x - 4 x 2 2 + C = 3 x - 2 x 2 + C

Passo 3

Agora vamos aplicar o ponto 2,5 para achar o valor de C , vamos lá:

f x = 3 x - 2 x 2 + C → f 2 = 3 ⋅ 2 - 2 ⋅ 2 2 + C = 5 → 6 - 8 + C = 5 → C = 7

Substituindo o valor de C na expressão:

f x = 3 x - 2 x 2 + C = 3 x - 2 x 2 + 7

Passo 4

Pronto, agora é só substituir o valor 1 na expressão para achar f 1 :

f 1 = 3 ⋅ 1 - 2 ⋅ 1 2 + 7 = 3 - 2 + 7 = 8

Resposta

f 1 = 8

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