Enunciado

Encontre f .

f^' (x) = ((x + 1))/(sqrt(x)) , f (1) = 5

Passo 1

Vamos lá, para achar f vamos ter que achar a antiderivada geral, sabemos que uma função F é chamada de antiderivada de f em um intervalo I se:

F^' (x) = f (x)

para todo x em I .

E se F é uma antiderivada de f nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de f em I é:

F (x) + C

onde C é uma constante qualquer.

Pronto, então vamos achar a antiderivada, pra isso temos que achar uma função que derivando f nós encontramos F .

Para achar f vamos ter que achar a antiderivada uma vez, vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos manipular a função retirando o denominador:

f^' (x) = ((x + 1))/(sqrt(x)) = ((x + 1))/(x^((1)/(2))) = (x + 1) x^(- (1)/(2)) = x^1 * x^(- (1)/(2)) + x^(- (1)/(2)) = x^(1 - (1)/(2)) + x^(- (1)/(2)) = x^((1)/(2)) + x^(- (1)/(2))

Vamos então agora calcular, para achar a antiderivada temos que a antiderivada da função geral x^n com n != 1 da forma:

(x^(n + 1))/(n + 1)

Agora é só aplicar: x^((1)/(2)) + x^(- (1)/(2))

f (x) = (x^((1)/(2) + 1))/((1)/(2) + 1) + (x^(- (1)/(2) + 1))/(- (1)/(2) + 1) + C = (x^((3)/(2)))/((3)/(2)) + (x^((1)/(2)))/((1)/(2)) + C = (2)/(3) x^((3)/(2)) + 2 x^((1)/(2)) + C

Passo 3

Por último é só vamos aplicar o ponto f (1) = 5 para achar o valor de C , vamos lá:

f (x) = (2)/(3) x^((3)/(2)) + 2 x^((1)/(2)) + C -> f (1) = (2)/(3) * 1^((3)/(2)) + 2 * 1^((1)/(2)) + C = 5 -> (2)/(3) * 1 + 2 * 1 + C = 5 -> (2)/(3) + 2 + C = 5 -> C = 5 - (2)/(3) - 2 -> C = (15 - 2 - 6)/(3) -> C = (7)/(3)

Substituindo o valor de C na expressão:

f (x) = (2)/(3) x^((3)/(2)) + 2 x^((1)/(2)) + C = (2)/(3) x^((3)/(2)) + 2 x^((1)/(2)) + (7)/(3)

Pronto, achamos f !!

Resposta

f (x) = (2)/(3) x^((3)/(2)) + 2 x^((1)/(2)) + (7)/(3)

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