Enunciado

Dado que ∫ 0 π sen ⁡ x d x = 2 , ache o valor médio da função identidade no intervalo [ 0 ,   π ] . Ache também o valor de x para o qual ocorre o valor médio. Dê uma interpretação geométrica dos resultados.

Passo 1

O teorema do valor médio para integrais diz que se temos uma função f contínua num intervalo [ a , b ] , vai existir um número χ dentro do intervalo para o qual:

∫ a b f x d x = f ( χ ) ( b - a )

Esse valor f ( χ ) é considerado o valor médio da função no intervalo dado, então achamos o valor médio pela seguinte fórmula:

f χ = ∫ a b f x d x b - a

Passo 2

Aplicando o teorema, achamos f ( χ ) :

f χ = ∫ 0 π sen ⁡ x d x π - 0 = 2 π

Então 2 π é o valor médio da função f x = sen ⁡ x no intervalo [ 0 , π ] . Nesse caso, o valor médio ocorre pra dois valores de x , sendo eles x 1 = sen - 1 ⁡ 2 π ≈ 0,69 e x 2 =   π - sen - 1 ⁡ 2 π ≈ 2,45 .

Passo 3

Podemos interpretar geometricamente o resultado mostrando o gráfico de f x = sen ⁡ x no intervalo dado e seu valor médio 2 π . A área abaixo do gráfico de f ( x ) será exatamente a área do retângulo com base indo de 0,0 e ( π , 0 ) e de altura 2 π .

Perceba que, pelo teorema, as áreas A 1 e A 2 são iguais.

Resposta

f χ = 2 π

x 1 = sen - 1 ⁡ 2 π ≈ 0,69

x 2 =   π - sen - 1 ⁡ 2 π ≈ 2,45

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que uma bola saia do repouso e após t segundos sua velocidade seja V m/s. Desprezando a resistência do ar, expresse V em termos de t como v = f(t) e ache o valor médio de f [0,2]. (sugestão :
Suponha que F seja continua em [a,b] e ∫ b a f ( x ) d x = 0 . Prove que existe pelo menos um numero c em [a,b] tal que f(c) = 0
Mostre que se g(x) = 1, o teorema ∫ b a f ( x ) g ( x ) d x = f ( x 0 ) ∫ b a g ( x ) d x , torna-se o teorema do valor médio para integrais.
Ache o valor médio da função f definida por f(x) = 49 - x ² ², no intervalo [0,7]. Faça uma figura. (Sugestão : ache o valor da integral definida, interpretando-a como a medida da área da região encer
Use ∫ b a f x g xd x = f x 0 ∫ b a g xd x p a r ap r o v a rad e s i g u a l d e ∫ - 1 / 2 1 / 2 s e n 2 π x c o s ⁡ ( π x )d x ≤ ∫ - 1 / 2 1 / 2 c o s ⁡ ( π x )d x