Enunciado

Demonstre a fórmula 5 do Teorema 3.

(d)/(d t) [u (t) xx v ( t )] = u^' (t) xx v ( t ) + u (t) xx v ' ( t )

Passo 1

Tomaremos

u (t) = [ u_1 (t) , u_2 (t) , u_3 (t) ]

v (t) = [ v_1 (t) , v_2 (t) , v_3 (t) ]

Antes de fazer a demonstração é interessante obtermos os produtos vetoriais da fórmula 5 em suas formas vetoriais:

u (t) xx v (t) = |[[i,j,k],[u_1,u_2,u_3],[v_1,v_2,v_3]]|

u (t) xx v (t) = (u_2 v_3 - u_3 v_2) i + (u_3 v_1 - u_1 v_3) j + (u_1 v_2 - u_2 v_1) k

Analogamente temos

u ' (t) xx v (t) = (u '_2 v_3 - u '_3 v_2) i + (u '_3 v_1 - u '_1 v_3) j + (u '_1 v_2 - u '_2 v_1) k

u (t) xx v ' (t) = (u_2 v '_3 - u_3 v '_2) i + (u_3 v '_1 - u_1 v '_3) j + (u_1 v '_2 - u_2 v '_1) k

Passo 2

Aplicando o Teorema 2, ou seja, derivando as componentes de produto vetorial dado, temos:

(d)/(d t) [u (t) xx v (t)] = (d)/(d t) (u_2 v_3 - u_3 v_2) i + (d)/(d t) (u_3 v_1 - u_1 v_3) j + (d)/(d t) (u_1 v_2 - u_2 v_1) k

Das propriedades usuais de derivadas para soma de funções escalares temos:

(d)/(d t) [u (t) xx v (t)] = [ (d)/(d t) ( u_2 v_3 ) - (d)/(d t) ( u_3 v_2 ) ] i + [ (d)/(d t) ( u_3 v_1 ) - (d)/(d t) ( u_1 v_3 ) ] j + [ (d)/(d t) ( u_1 v_2 ) - (d)/(d t) ( u_2 v_1 ) ] k

Passo 3

Agora desenvolvemos as derivadas que estão dentro dos parêntesis.

(d)/(d t) [u (t) xx v (t)] = [ ( u_2^' v_3 + u_2 v_3^' ) - ( u_3^' v_2 + u_3 v_2^' ) ] i + [ ( u_3^' v_1 + u_3 v_1^' ) - ( u_1^' v_3 + u_1 v_3^' ) ] j + [ ( u_1^' v_2 + u_1 v_2^' ) - ( u_2^' v_1 + u_2 v_1^' ) ] k

Retirando os parêntesis teremos:

(d)/(d t) [u (t) xx v (t)] = [ u_2^' v_3 + u_2 v_3^' - u_3^' v_2 - u_3 v_2^' ] i + [ u_3^' v_1 + u_3 v_1^' - u_1^' v_3 - u_1 v_3^' ] j + [ u_1^' v_2 + u_1 v_2^' - u_2^' v_1 - u_2 v_1^' ] k

Feito isso, podemos reagrupar os termos que estão dentro de colchetes:

(d)/(d t) [u (t) xx v (t)] = [ ( u_2^' v_3 - u_3^' v_2 ) + ( u_2 v_3^' - u_3 v_2^' ) ] i + [ ( u_3^' v_1 - u_1^' v_3 ) + ( u_3 v_1^' - u_1 v_3^' ) ] j + [ ( u_1^' v_2 - u_2^' v_1 ) + ( u_1 v_2^' - u_2 v_1^' ) ] k

Passo 4

Com base na Propriedade 6 ,de distributividade do produto de uma soma escalar por um vetor, podemos dividir o vetor obtido no passo anterior em dois vetores. Assim obtemos:

(d)/(d t) [u (t) xx v (t)] = [(u_2^' v_3 - u_3^' v_2) i + (u_3^' v_1 - u_1^' v_3) j + (u_1^' v_2 - u_2^' v_1) k] +

[(u_2 v_3^' - u_3 v_2^') i + (u_3 v_1^' - u_1 v_3^') j + (u_1 v_2^' - u_2 v_1^') k]

Agora, analisando bem as componentes dos dois vetores da soma acima, notamos que elas são exatamente as componentes dos produtos vetoriais expressos no final do Passo 1. Ou seja, o vetor dentro do primeiro colchetes é igual a u^' (t) xx v ( t ) , enquanto o vetor no segundo colchete é igual a u (t) xx v ' ( t ) .

Portanto, se fizermos a substituição temos

(d)/(d t) [u (t) xx v ( t )] = u^' (t) xx v ( t ) + u (t) xx v ' ( t )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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33. Calcule a integral. ∫ 0 1 16 t 3i - 9 t 2 j + 25 t 4k d t
Calcule a integral. ∫ e ti + 2 tj + ln ⁡ tk d t
Encontre r t se r ' t = ti + e t j + t e tk e r 0 = i + j + k .
Demonstre a fórmula 1 do Teorema 3.(d)/(d t) [f ( t ) u (t)] = f^' (t) u (t) + f (t) u ' ( t )