Enunciado

Demonstre as fórmulas dadas na tabela 1 para as derivadas das funções (a) c o s h , (b) t g h , (c) c o s s e c h , (d) s e c h e (e) c o t g h .

Passo 1

Item a:

Se o cosh ⁡ x (cosseno hiperbólico de x ) é dado por:

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Então:

d d x cosh ⁡ x = d d x e x + e - x 2

d d x cosh ⁡ x = 1 2 d d x e x + e - x

d d x cosh ⁡ x = 1 2 d d x e x + e - x

d d x cosh ⁡ x = 1 2 e x - e - x

d d x cosh ⁡ x = e x - e - x 2

d d x cosh ⁡ x = senh ⁡ x

Passo 2

Item b:

Se tgh ⁡ x (tangente hiperbólica de x ) é dada por:

tgh ⁡ x = e x - e - x e x + e - x

Então:

d d x tgh ⁡ x = d d x e x - e - x e x + e - x

d d x tgh ⁡ x = e x + e - x e x + e - x - e x - e - x e x - e - x e x + e - x 2

d d x tgh ⁡ x = e 2 x + 2 + e - 2 x - e 2 x + 2 - e - 2 x e x + e - x 2

d d x tgh ⁡ x = 2 e x + e - x 2

d d x tgh ⁡ x = sech 2 ⁡ x

Passo 3

Item c:

d d x cossech ⁡ x = d d x 1 senh ⁡ x

d d x cossech ⁡ x = d d x senh ⁡ x - 1

d d x cossech ⁡ x = - 1 senh ⁡ x - 2 cosh ⁡ x

d d x cossech ⁡ x = - cotgh ⁡ x cossech ⁡ x

Passo 4

Item d:

d d x sech ⁡ x = d d x 1 cosh ⁡ x

d d x sech ⁡ x = d d x cosh ⁡ x - 1

d d x sech ⁡ x = - 1 cosh ⁡ x - 2 senh ⁡ x

d d x sech ⁡ x = - tgh ⁡ x sech ⁡ x

Passo 5

Item e:

d d x cotgh ⁡ x = d d x 1 tgh ⁡ x

d d x cotgh ⁡ x = d d x tgh ⁡ x - 1

d d x cotgh ⁡ x = - 1 tgh ⁡ x - 2 sech 2 ⁡ x

d d x cotgh ⁡ x = - cossech 2 ⁡ x

Resposta

(a) d d x cosh ⁡ x = senh ⁡ x

(b) d d x tgh ⁡ x = sech 2 ⁡ x

(c) d d x cossech ⁡ x = - cotgh ⁡ x cossech ⁡ x

(d) d d x sech ⁡ x = - tgh ⁡ x sech ⁡ x

(e) d d x cotgh ⁡ x = - cossech 2 ⁡ x

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Demonstre as fórmulas dadas na Tabela 6 para as derivadas das funções a seguir(a) c o s h - 1 (b) t g h - 1 (c)c o s s e c h - 1 (d) s e c h - 1 (e) c o t g h - 1
Encontre a derivada da função dada: g x = x 2 sen - 1 ⁡ 2 x
Encontre a derivada da função dada: f t = senh - 1 ⁡ e 2 t
Encontre a derivada da função dada: f z = cotgh - 1 ⁡ z 2 3
Encontre a derivada da função dada: h x = sech - 1 ⁡ x 2