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  1. Demonstre que o ponto médio do segmento de reta que liga P 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) a P 2 x 2 , y 2 , z 2   é
  2. x 1 + x 2 2 , y 1 + y 2 2 , z 1 + z 2 2      

  3. Determine os comprimentos das medianas do triângulo com vértices em A 1,2 , 3 ,   B - 2,0 , 5   e   C ( 4,1 , 5 ) .

Passo 1

  1. Calculando a distância entre P 1 e P 2 , temos:
  2. | P 1 P 2 | = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2

    Dividindo ambos os lados por dois...

    P 1 P 2 2 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 2

    Agora vamos dizer que o ponto médio entre P 1 e P 2 é M ( h , k , l ) , então a distância entre M e P 2   será:

    M P 2 =   x 2 - h 2 + y 2 - k 2 + z 2 - l 2  

    Como M é o ponto médio, sua distância até P 2 é igual a distância de P 1 até P 2 dividida por 2 , assim:

    M P 2 = P 1 P 2 2

    x 2 - h 2 + y 2 - k 2 + z 2 - l 2 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 2

    Para resolver essa equação, vamos elevar ao quadrado dos dois lados:

    x 2 - h 2 + y 2 - k 2 + z 2 - l 2 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 4

    x 2 - h 2 + y 2 - k 2 + z 2 - l 2 = x 2 - x 1 2 4 + y 2 - y 1 2 4 + z 2 - z 1 2 4

    Agora vamos comparar cada termo dessa equação:

    x 2 - h 2 = x 2 - x 1 2 4

    x 2 - h = x 2 - x 1 2

    x 2 - h = x 2 2 - x 1 2

    - h = x 2 2 - x 1 2 - x 2

    h = - x 2 2 + x 1 2 + x 2

    h = x 2 2 + x 1 2

    Fazendo o mesmo para y ...

    y 2 - k 2 = y 2 - y 1 2 4

    y 2 - k = y 2 - y 1 2

    - k = y 2 - y 1 2 - y 2

    - k = - y 2 2 - y 1 2 - y 2

    k = y 2 2 + y 1 2

    Agora só falta nossa última coordenada!

    z 2 - l 2 = z 2 - z 1 2 4

    z 2 - l = z 2 - z 1 2

    - l = z 2 2 - z 1 2 - z 2

    l = z 2 2 + z 1 2

    Show! Já que M = ( h , k , l ) , e nós acabamos de encontrar esses valores, então M = x 1 + x 2 2 , y 1 + y 2 2 , z 1 + z 2 2 , que era o que queríamos mostrar.

    Passo 2

  3. Bom, vamos dizer P é o ponto médio do segmento que liga os pontos A e B . Usando a fórmula que demonstramos no item (a), podemos encontrar P igual a:

P = 1 - 2 2 , 2 + 0 2 , 3 + 5 2 = - 1 2 , 1,4

Da mesma forma, Q é o ponto médio do segmento que liga os pontos B e C , então:

Q = - 2 + 4 2 , 0 + 1 2 , 5 + 5 2 = 1 , 1 2 , 5  

E R o ponto médio do segmento de A a C :

R = 1 + 4 2 , 2 + 1 2 , 3 + 5 2 = 5 2 , 3 2 , 4

Agora vamos lembrar que a mediana de um triângulo nada mais é do que o segmento que liga o ponto médio de um dos lados de um triângulo ao outro vértice, sendo assim, C P - ,   A Q - e B R - são nossas medianas. Beleza, então vamos calcular seus comprimentos!

C P - = 4 + 1 2 2 + 1 - 1 2 + 5 - 4 2 = 85 2

A Q - = 1 - 1 2 + 2 - 1 2 2 + 3 - 5 2 = 5 2

B R - = - 2 - 5 2 2 + 0 - 3 2 2 + 5 - 4 2 = 94 2

Show! Então esses são os comprimentos que estávamos procurando

Resposta

( b ) 85 2 , 5 2 , 94 2

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