Enunciado

Dentre todos os retângulos de perímetro igual a 80   c m , quais as dimensões do retângulo de área máxima?

Passo 1

Então pessoal, vamos considerar um retângulo de altura h e base b da seguinte forma:

Sabemos que o perímetro desse retângulo vale 80   c m , então se escrevermos uma expressão para o perímetro obteremos:

80 = 2 h + 2 b

Dividindo tudo por 2 , teremos:

40 = h + b

Ok, a expressão do perímetro foi estabelecida.

Passo 2

Sabemos também que a área do retângulo é dada da seguinte forma:

A = h . b

Se isolarmos h na expressão do perímetro que encontramos, teremos:

h = 40 - b

Substituindo na expressão da área:

A = 40 - b . b

A = 40 b - b 2

Opa, aqui temos uma equação do segundo grau! O ponto de máximo está no vértice dessa parábola, pessoal! Descobrindo as raízes, teremos:

40 b - b 2 = 0

b 40 - b = 0

Para isso ser 0 então b = 0 ou b = 40 . O vértice está na média aritmética entre as raízes, logo:

40 + 0 2 = 20   c m

Dessa forma, podemos concluir que para o retângulo ter área máxima com aquele perímetro ele tem que ter b = 20   c m . Sendo assim, h será:

40 = h + 20

h = 20   c m

Que nos dá um quadrado, uma vez que as dimensões são iguais!

Resposta

Dimensões: h = b = 20   c m

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